[논문 리뷰] ${\bf C}^*$-extensions of tori, higher Chow groups and applications to incidence equivalence relations for algebraic cycles.

Stefan Müller–Stach|arXiv (Cornell University)|1995. 01. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 토리의 C*-확장을 고차 호모로지 군과 연결하며, 특성 0에서 블로크의 고차 호모로지 군에 대한 G_m-이중확장이 중간 아벨-자코비안의 피카르 이중확장의 역상과 동형임을 증명한다. 이 결과는 고차원 2차원 사이클에 대해 그리피스의 추측을 확인하며, 대수적으로나 입자 등가성에 의해 0과 동치인 사이클이 토르션 아벨-자코비 불변량을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety of dimension n. If $p+q=n+1$ then Bloch has defined a ${\bf G}_m$-biextension E over the product of the Chow groups $CH^p_0(X)$ and $CH^q_0(X)$ of homologically trivial cycles. We prove that E is the pullback of the Poincare biextension over the product of intermediate Jacobians in characteristic zero. This is used to study various equivalence relations for algebraic cycles. In particular we reprove Murres result that Griffiths conjecture holds for codimension two cycles, i.e. every codim. two cycle algebraically and incidence equivalent to zero has torsion Abel-Jacobi invariant.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 사영 다양체에서 호모로지적으로 자명한 사이클의 고차 호모로지 군 위에 블로크의 G_m-이중확장의 구조를 이해하기 위해.
• 특성 0에서 이중확장의 관점에서 대수적 사이클과 중간 아벨-자코비안 간의 관계를 조사하기 위해.
• 입자 등가성 하에 고차원 2차원 사이클에 대해 아벨-자코비 불변량의 토르션성을 재증명하기 위해.
• 대수적 사이클과 고차 호모로지 군의 맥락에서 토리의 C*-확장의 기하학적 및 코homological 의미를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 차원 n인 부드러운 사영 다양체 X에 대해 고차 호모로지 군 CH^p_0(X) 및 CH^q_0(X) 위의 G_m-이중확장 이론을 활용한다.
• 중간 아벨-자코비안의 곱 위에 정의된 피카르 이중확장을 사용하여 블로크의 G_m-이중확장과 비교한다.
• 특성 0의 가정을 통해 호지 이론 및 코homological 도구의 타당성을 확보한다.
• 피카르 이중확장의 역상과 블로크의 G_m-이중확장 간의 동형을 통해 주요 결과를 확립한다.
• 고차 호모로지 군을 사용하여 호모로지 등가성에 대해 모odulo된 대수적 사이클을 매개변수화한다.
• 대수적 K이론과 모티브 코hom로지의 결과를 활용하여 입자 등가성 관계를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0에서, 호모로지적으로 자명한 사이클의 고차 호모로지 군 위에 블로크의 G_m-이중확장이 중간 아벨-자코비안의 피카르 이중확장의 역상과 동형인가?
• RQ2 토리의 C*-확장은 고차 호모로지 군과 대수적 사이클과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 입자 등가성은 고차원 2차원 사이클에 대해 아벨-자코비 불변량의 토르션성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이중확장의 구조를 사용하여 고차원 2차원 사이클에 대해 그리피스 추측에 대한 문터의 결과를 재증명할 수 있는가?
• RQ5 중간 아벨-자코비안과 대수적 사이클의 관점에서 G_m-이중확장의 기하학적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• p+q = n+1인 경우, CH^p_0(X) × CH^q_0(X) 위의 G_m-이중확장은 특성 0에서 중간 아벨-자코비안의 곱 위의 피카르 이중확장의 역상과 동형이다.
• 이 동형은 피카르 구성에 의해 블로크의 G_m-이중확장의 호지 이론적 실현을 제공한다.
• 이 결과는 모든 고차원 2차원 사이클이 대수적으로나 입자 등가성에 의해 0과 동치일 경우 토르션 아벨-자코비 불변량을 가짐을 확인하며, 문터의 정리를 재증명한다.
• 이중확장의 구조를 통해 토리의 C*-확장과 고차 호모로지 군 간의 연결이 확립된다.
• 논문은 특성 0의 가정 하에 입자 등가성이 고차원 2차원에서 아벨-자코비 불변량의 토르션성을 암시함을 보여준다.
• 중간 아벨-자코비안과 이중확장을 사용함으로써 대수적 사이클의 등가관계를 연구하기 위한 코homological 프레임워크가 제공된다.