[논문 리뷰] Bi-Lipshitz Embedding of Ultrametric Cantor Sets into Euclidean Spaces

Jean Bellissard, Antoine Julien|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초거리 캔터 집합이 유한 차원 유클리드 공간에 비-리프시츠 임베딩 가능할 조건을 밝혀내며, 이를 위해 마이콘 트리(formalism)를 사용하여 결과를 재해석하고 재증명한다. 초거리 캔터 집합이 비-리프시츠로 임베딩 가능할 조건은 그의 아소프 차원이 유한할 때이고, 이는 마이콘 트리의 각 수준에서의 자식 수의 상한이 존재하는 것과 동치이다. 이 틀을 적용하여 선형적으로 반복되는(subshift) 및 슈르미언(subshift) 집합의 임베딩 가능성을 보이며, 유한한 하우스도르프 차원을 가짐에도 불구하고 임베딩이 불가능한 경계를 갖는 랜덤 갈튼–워슨 트리를 구성한다.

ABSTRACT

An ultrametric Cantor set can be seen as the boundary of a rooted weighted tree called the Michon tree. The notion of Assouad dimension is re-interpreted as seen on the Michon tree. The Assouad dimension of an ultrametric Cantor set is finite if and only if the space is bi-Lipschitz embeddable in a finite dimensional Euclidean space. This result, due to Assouad and refined by Luukkainen--Movahedi-Lankarani is re-proved in the Michon tree formalism. It is applied to answer the embedding question for some spaces which can be seen naturally as boundary of trees: linearly repetitive subshifts, Sturmian subshifts, and the boundary of Galton--Watson trees with random weights. Some of these give examples of nonembeddable spaces with finite Hausdorff dimension.

연구 동기 및 목표

• 마이콘 트리 형식론을 사용하여 유한한 아소프 차원과 유클리드 공간으로의 비-리프시츠 임베딩 가능성 간의 동치성을 재해석하고 재증명하는 것.
• 아소프 차원의 구체적이고 트리 기반의 기술을 제공하고, 초거리 캔터 집합의 임베딩 정리에서 그 역할을 분석하는 것.
• 특정 초거리 캔터 집합의 클래스(선형적으로 반복되는 및 슈르미언 하위시프트에서 유래한)에 대해 이 틀을 적용하는 것.
• 유한한 하우스도르프 차원을 가짐에도 불구하고 어떤 $ \bbR^n $ 에도 비-리프시츠로 임베딩되지 않는 예를 구성함으로써, 하우스도르프 차원이 유한하다고 해서 비-리프시츠 임베딩 가능성이 보장되지 않음을 보여주는 것.
• 랜덤 가중치를 가진 갈튼–워슨 트리의 경계의 하우스도르프 차원이 거의 확실히 임계 지수 $ s_m $ 과 같고, $ s_m $-차원 하우스도르프 측도가 거의 확실히 랜덤 확률 측도임을 보이는 것.

제안 방법

• 정점의 가중치가 국소 직경을 나타내는 루트가 있는 가중치가 부여된 트리(마이콘 트리)의 경계로 초거리 캔터 집합을 표현한다.
• 특히 각 수준에서의 최대 자식 수를 통해 트리의 가중치 성장률로 아소프 차원을 재표현한다.
• 유한한 전체 부분트리 $ \tilde{\tau} $ 에서 마팅게일 접근법을 사용하여 $ s $-차원 하우스도르프 콘텐츠 $ \tilde{\rho}^s(\tilde{\tau}) $ 의 행동을 분석한다.
• 독립 동일분포 가중치 $ \tilde{\rho}(v) $ 를 가진 트리 위의 랜덤 가중치 과정을 정의하고, 모멘트 생성 함수를 사용하여 기대값 $ m h(s) $ 를 분석한다.
• 특히 $ \tilde{\rho}^s(\tilde{\tau}) $ 가 필터레이션 $ \tilde{\rho}_{\tilde{\tau}} $ 에 대해 마팅게일이 되며, 거의 확실히 수렴함을 증명한다.
• 하우스도르프 차원이 거의 확실히 $ s_m $ 이며, 여기서 $ s_m $ 은 $ m h(s_m) = 1 $ 을 만족하는 해임을 증명한다. 또한 $ s_m $-하우스도르프 측도는 거의 확실히 랜덤 확률 측도임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초거리 캔터 집합이 어떤 조건에서 유한 차원 유클리드 공간에 비-리프시츠로 임베딩 가능한가?
• RQ2 초거리 캔터 집합의 아소프 차원은 그에 관련된 마이콘 트리의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 타일링 공간이나 하위시프트의 비-리프시츠 임베딩 가능성은 트리 기반 형식론으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 유한한 하우스도르프 차원을 가짐에도 불구하고 어떤 $ \bbR^n $ 에도 비-리프시츠로 임베딩되지 않는 초거리 캔터 집합이 존재하는가?
• RQ5 독립 동일분포 랜덤 가중치를 가진 갈튼–워슨 트리의 경계의 거의 확실한 하우스도르프 차원은 얼마인가?

주요 결과

• 초거리 캔터 집합이 $ \bbR^n $ 에 비-리프시츠로 임베딩 가능할 조건은 그 아소프 차원이 유한할 때이며, 이는 마이콘 트리에서 각 수준에서의 자식 수에 상한이 존재할 때와 동치이다.
• 아소프 차원이 유한할 조건은 임계 지수 $ s_m $ 이 $ m h(s_m) = 1 $ 을 만족할 때이며, 여기서 $ m $ 은 자식 수의 기대값이고 $ h(s) $ 는 가중치 분포의 모멘트 생성 함수이다.
• 선형적으로 반복되는 하위시프트는 $ f $-임베딩 가능하며, 이는 그에 대응하는 타일링 공간의 아소프 차원이 타일링 차원 $ d $ 에 대해 $ d+1 $ 보다 작을 때이다.
• 슈르미언 하위시프트 역시 $ f $-임베딩 가능하며, 이는 그에 대응하는 타일링 공간의 아소프 차원이 유한하기 때문이다.
• 독립 동일분포 랜덤 가중치를 가진 갈튼–워슨 트리의 경계는 거의 확실히 하우스도르프 차원이 $ s_m $ 이며, 여기서 $ s_m $ 은 $ m h(s_m) = 1 $ 을 만족하는 해이다.
• 경계의 $ s_m $-차원 하우스도르프 측도는 거의 확실히 랜덤 확률 측도이며, 거의 확실히 양수이자 유한하며, 유한한 부분트리에서의 $ s $-콘텐츠의 거의 확실한 극한이다.