[논문 리뷰] Bi-modal Gödel logic over [0,1]-valued Kripke frames

Xavier Caicedo, Ricardo Óscar Rodríguez|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Fischer-Servi의 직관적 모달 논리 IK에 전순서성 공리(axiom)를 추가한 힐버트 스타일의 공리체계 $Γ_{◂\Diamond}$를 도입하여 [0,1]-가치 Kripke 구조 위에서 이중 모달 고델 논리의 강한 완전성을 확립한다. 주요 기여는 가산 이중 모달 고델 대수에 대한 표현 정리로, 모든 이러한 대수는 어떤 프레임 $\mathcal{F}$에 대해 복합 대수 $[0,1]^\mathcal{F}$에 임베딩됨을 증명한다. 결과들은 [0,1]-가치 대응체로 프레임 성질을 제한함으로써 이중 모달 $T$, $S4$, $S5$의 해석으로 확장된다.

ABSTRACT

We consider the Gödel bi-modal logic determined by fuzzy Kripke models where both the propositions and the accessibility relation are infinitely valued over the standard Gödel algebra [0,1] and prove strong completeness of Fischer Servi intuitionistic modal logic IK plus the prelinearity axiom with respect to this semantics. We axiomatize also the bi-modal analogues of $T,$ $S4,$ and $S5$ obtained by restricting to models over frames satisfying the [0,1]-valued versions of the structural properties which characterize these logics. As application of the completeness theorems we obtain a representation theorem for bi-modal Gödel algebras.

연구 동기 및 목표

• 모든 문장과 접근 관계가 무한히 값이 부여된 [0,1]-가치 Kripke 구조 위에서 이중 모달 고델 논리의 강한 완전한 공리계를 제공하는 것.
• 유일 모달 분할에 대한 완전성 결과를 전체 이중 모달 설정으로 확장하기 위해 $\mathcal{G}_{\square}$와 $\mathcal{G}_{\Diamond}$의 합집합에 Fischer-Servi의 연결 공리들을 추가하는 것.
• 구조적 프레임 성질(반사성, 추이성 등)의 [0,1]-가치 대응체를 적용하여 고델 논리의 전형적 모달 논리 $T$, $S4$, $S5$의 이중 모달 해석을 공리화하는 것.
• 가산 이중 모달 고델 대수에 대해 캐논리컬 고델-Kripke 모델을 사용한 표현 정리 수립 및 복합 대수 $[0,1]^\mathcal{F}$로의 임베딩을 통해 증명하는 것.

제안 방법

• 표준 고델 대수 $[0,1]$에서 진리값을 취하는 언어를 사용하여 이중 모달 고델 논리를 형식화하며, 문장 변수, 연결자 $\vee, \wedge, \rightarrow, \bot$, 그리고 모달 연산자 $\square, \Diamond$를 포함한다.
• 고델-Kripke 모델을 구조 $\mathcal{F} = (W, S, e)$로 정의한다. 여기서 $W$는 세계들의 집합이며, $S: W \times W \to [0,1]$는 접근 관계이고, $e: W \times \text{Var} \to [0,1]$는 할당이다.
• $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$ 시스템을 $\mathcal{G}_{\square}$와 $\mathcal{G}_{\Diamond}$의 합집합으로 구성하고, Fischer-Servi의 연결 공리들인 $\Diamond(\varphi\to\psi)\to(\Box\varphi\to\Diamond\psi)$ 및 $(\Diamond\varphi\to\Box\psi)\to\Box(\varphi\to\psi)$를 추가한다.
• 정규 이론 $T$와 컴actness를 사용하여 캐논리컬 모델을 구성함으로써 강한 완전성을 증명한다. 이때 $T \vdash \varphi$이면 $M_T \models \varphi$가 되는 모델 $M_T$를 구축하여 타당성과 완전성을 보장한다.
• 각 가산 이중 모달 고델 대수 $A$에 대해 고델 프레임 $\mathcal{F}_A$를 연결하여, $A$가 $[0,1]^{\mathcal{F}_A}$에 임베딩됨을 보여주는 표현 정리를 수립한다. 이때 할당이 임베딩을 통해 유지됨을 보장한다.
• 대수적 구조 $I^\mathcal{F}$와 $K^\mathcal{F}$가 요구되는 항등식을 만족하고, 공식 복잡도에 대한 귀납법을 통해 모델에서의 진리값이 대수적 평가와 일치함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 이중 모달 고델 논리가 [0,1]-가치 Kripke 구조 위에서 강한 완전성 공리계를 갖는가?
• RQ2 Fischer-Servi의 직관적 모달 논리 IK에 전순서성 공리를 추가한 것이 [0,1]-가치 Kripke 구조 위에서의 이중 모달 고델 논리와 동치인가?
• RQ3 프레임 성질을 [0,1]-가치 대응체로 제한함으로써 $T$, $S4$, $S5$의 이중 모달 해석을 공리화할 수 있는가?
• RQ4 모든 가산 이중 모달 고델 대수는 고델-Kripke 모델과 복합 대수 $[0,1]^\mathcal{F}$로의 임베딩을 통해 표현 가능한가?
• RQ5 정규 이론에 대한 캐논리컬 모델 구성법을 [0,1]-가치 설정에서 타당성을 유지하도록 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$ 시스템은 $\mathcal{G}_{\square} \cup \mathcal{G}_{\Diamond}$에 Fischer-Servi의 연결 공리들과 전순서성 공리 $(\varphi\to\psi)\vee(\psi\to\varphi)$를 추가하여 얻었으며, [0,1]-가치 Kripke 구조에 대해 강한 완전성을 갖는다.
• 이중 모달 고델 논리 $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$는 Fischer-Servi의 $IK$ 논리에 전순서성 공리를 추가한 것과 논리적으로 동치이며, 그 $S5$-버전은 Prior의 $MIPC$에 전순서성 공리를 추가한 것과 동치이다.
• 모든 가산 정규 이론 $T$에 대해, $T \vdash \varphi$이면 $M_T \models \varphi$가 되는 고델-Kripke 모델 $M_T$가 존재한다. 이는 강한 완전성을 증명한다.
• 모든 가산 이중 모달 고델 대수 $A$는 어떤 프레임 $\mathcal{F}_A$에 대해 복합 대수 $[0,1]^{\mathcal{F}_A}$에 임베딩될 수 있으며, 이는 표현 정리를 수립한다.
• 임베딩은 진리값을 유지한다: 임의의 할당 $v$에 대해 $A$로의 $v(\varphi) = 1$이 되는 것과 동치인 조건은, $\mathcal{F}_A$ 위의 고델-Kripke 모델에서 $\varphi$가 타당한 것과 동치이다.
• 이중 모달 고델 대수의 다양체는 복합 대수 $[0,1]^\mathcal{F}$에 의해 생성되며, 이는 가산 순서의 자유 대수에 표현 정리를 적용함으로써 증명된다.