[논문 리뷰] (Bi)modules, morphismes et réduction des star-produits: le cas symplectique, feuilletages et obstructions

Martin Bordemann|ArXiv.org|2004. 03. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 66인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 맵을 沿한 다중미분 연산자들을 사용하여 변형 양자화를 위한 미분기하학적 프레임워크를 수립하며, 아티야-몰리노 클래스가 0일 때 쌍곡형 스타곱이 계열적 부분다양체 위에서 표현가능하다는 것을 증명한다. de Rham 코homology를 통해 이중모듈러 구조를 분류하고, 이 위상적 불변량과 연결된 포아송 사상의 양자화에 대한 장애를 규명한다.

ABSTRACT

(Bi)modules, morphisms and reduction of star-products are studied in a framework of multidifferential operators along maps: morphisms deform Poisson maps and representations on functions spaces deform coisotropic maps. If a star-product is representable on a coisotropic submanifold, is is equivalent to a star-product for which the vanishing ideal is a left ideal. If the reduced phase space exists, a star-product with suitable Deligne class is representable and the reduced algebra is the commutant of this module (hence a bimodule). Obstructions to representability to third order are related to the Atiyah-Molino class of the foliation of the coisotropic submanifold, and the same kind of obstructions occurs for the quantisation of a Poisson map between symplectic manifolds. For vanishing Atiyah-Molino class, the representation and morphism problem is solvable.

연구 동기 및 목표

• 맵을 따라 다중미분 연산자를 사용하여 변형 양자화의 (이중)모듈러, 사상, 축소를 위한 기하학적 프레임워크를 개발한다.
• 특히 쌍곡형 설정에서, 스타곱이 계열적 부분다양체 위에서 표현가능한 조건을 명확히 한다.
• 아티야-몰리노 클래스를 사용하여 스타곱의 표현가능성과 포아송 사상의 양자화에 대한 위상적 장애를 규명한다.
• 계열적 부분다양체 위의 함수 공간 위의 이중모듈러 구조를 de Rham 코homology의 관점에서 분류한다.
• Fedosov의 방법을 확장하여 쌍곡형 다양체 사이의 포아송 사상의 양자화에 발생하는 장애를 분석한다.

제안 방법

• 맵을 따라 다중미분 연산자의 형식을 사용하여 변형 양자화 내의 대수적 구조를 기술한다.
• 계열적 부분다양체 위에서 스타곱이 표현가능한지의 조건을 제시하는 계열적 신조: 스타곱의 영이deoal이 변형된 대수에서 왼쪽 아이디얼이면 된다.
• 포아송 사상의 양자화에 발생하는 장애를 분석하기 위해 Fedosov의 방법을 적용한다.
• 계열적 부분다양체와 관련된 쌍곡형 분할에 대해 아티야-몰리노 클래스를 도입하고 분석한다.
• 계열적 부분다양체의 첫 번째 de Rham 코homology를 통해 이중모듈러 구조를 분류한다.
• 델리그 레이어와 스타곱의 동치 조건을 사용하여 표현가능성을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍곡형 다양체 위의 스타곱이 계열적 부분다양체 위의 미분연산자로 표현가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 아티야-몰리노 클래스는 계열적 부분다양체 위에서 스타곱의 표현가능성을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 계열적 부분다양체의 함수 공간 위의 이중모듈러 구조는 기하학적 불변량을 통해 어떻게 분류되는가?
• RQ4 쌍곡형 다양체 사이의 포아송 사상은 항상 변형 양자화에서 대수적 사상으로 변형될 수 있는가?
• RQ5 포아송 사상의 양자화에 대한 위상적 장애는 무엇이며, 이는 커널 번들의 쌍곡형 기하학과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 쌍곡형 스타곱은 계열적 부분다양체 위에서 표현가능할 조건이 바로 그 부분다양체 위의 쌍곡형 분할의 아티야-몰리노 클래스가 0일 때이다.
• 계열적 부분다양체 위의 함수 공간 위의 이중모듈러 구조는 그 부분다양체의 첫 번째 de Rham 코homology 군에 의해 분류된다.
• 스타곱의 표현가능성에 대한 장애는 계열적 부분다양체의 쌍곡형 분할의 아티야-몰리노 클래스에서 기인한다.
• 쌍곡형 다양체 사이의 포아송 사상에 대해, 양자화에 대한 장애는 탄성 사상의 커널의 쌍곡형 수직 번들의 아티야-몰리노 클래스에 의해 지배된다.
• 아티야-몰리노 클래스가 0일 경우, 델리그 레이어가 적절한 호환 조건을 만족하면 포아송 사상은 양자화될 수 있다.
• 2-토러스의 코타angent 번들과 복소 프로젝티브 공간의 예시는 특히 양자화 축소와 Fedosov 양자화의 맥락에서 이 이론을 잘 설명한다.