[논문 리뷰] Bicartesian Coherence

Kosta Došen, Zoran Petrić|ArXiv.org|2000. 06. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 이항 곱과 합만을 갖는 이바이카르티esian 범주에 대해, 유한 순서수 위의 관계 범주로의 충실한 함자를 구성하여 균일성을 확립한다. 주요 결과는 화살표의 등식이 이 함자를 통해 결정 가능하며, 이러한 범주는 최대성—모든 비전순서 확장은 곱과 합을 포함한 모든 등식을 기존의 자유 범주 안으로 축소시킴—을 갖는다는 것이다.

ABSTRACT

Coherence is demonstrated for categories with binary products and sums, but without the terminal and the initial object, and without distribution. This coherence amounts to the existence of a faithful functor from a free category with binary products and sums to the category of relations on finite ordinals. This result is obtained with the help of proof-theoretic normalizing techniques. When the terminal object is present, coherence may still be proved if of binary sums we keep just their bifunctorial properties. It is found that with the simplest understanding of coherence this is the best one can hope for in bicartesian categories. The coherence for categories with binary products and sums provides an easy decision procedure for equality of arrows. It is also used to demonstrate that the categories in question are maximal, in the sense that in any such category that is not a preorder all the equations between arrows involving only binary products and sums are the same. This shows that the usual notion of equivalence of proofs in nondistributive conjunctive-disjunctive logic is optimally defined: further assumptions would make this notion collapse into triviality. (A proof of coherence for categories with binary products and sums simpler than that presented in this paper may be found in Section 9.4 of {\it Proof-Theoretical Coherence}, revised version of September 2007, http://www.mi.sanu.ac.yu/~kosta/coh.pdf.)

연구 동기 및 목표

• 이행 또는 초기 대상이 없고 분배법칙도 없는 이항 곱과 합만을 갖는 범주에 대해 균일성을 확립하는 것.
• 이러한 범주에서 화살표의 등식을 결정할 수 있는 절차를 제공하기 위해, 자유 범주에서 유한 순서수 위의 관계 범주로의 충실한 함자를 사용하는 것.
• 이러한 범주의 등식 이론이 최대임을 보여주는 것: 비전순서 확장은 반드시 동일한 등식 이론으로 수렴한다.
• 비분배적 결합-선택 논리에서 표준 증명 등가의 최적성을 명확히 하기 위해, 추가 가정이 이루어지면 이 등가가 자명해짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 이행 또는 초기 대상이 없고 이항 곱과 합만을 갖는 자유 범주 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 를 구성한다.
• 증명 이론적 정규화 기법을 사용하여, 유한 순서수 위의 관계 범주로의 함자 $G$ 를 정의한다.
• 증명 이론적 설정에서 컷 제거를 사용하여, 화살표 항목의 이미지가 유일하게 결정되고 단일값을 가짐을 보인다.
• 화살표 $f = g$ 가 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 에서 성립함과 $G(f) = G(g)$ 가 관계 범주에서 성립함이 동치임을 보여, $G$ 가 충실함을 확립한다.
• $G$ 의 충실성을 활용하여, 비전순서인 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 의 확장 범주가 존재할 경우 반드시 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 의 모든 등식을 만족함을 보인다.
• 등식 $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ 또는 $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$ 를 추가했을 경우, 범주가 전순서가 되어야 함을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이행 또는 초기 대상이 없고 분배법칙도 없는 이항 곱과 합만을 갖는 범주에 대해 균일성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 이항 곱과 합을 갖는 자유 범주에서, 화살표 등식의 결정 절차를 가능하게 하는 구체적 범주로의 충실한 함자가 존재하는가?
• RQ3 이항 곱과 합을 갖는 범주의 최대 등식 이론은 무엇인가? 비전순서 확장이 새로운 등식을 도입할 수 있는가?
• RQ4 비분배적 결합-선택 논리에서 표준 증명 등가의 정의가 왜 최적인지, 더 강한 가정을 추가하면 어떤 일이 일어나는가?

주요 결과

• 이항 곱과 합만을 갖는 자유 범주 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 에 대해, 유한 순서수 위의 관계 범주로의 충실한 함자 $G$ 가 존재한다.
• 화살표의 등식은 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 에서 $f = g$ 이면 $G(f) = G(g)$ 이므로, $G$ 의 이미지를 통해 결정 가능하다.
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ 는 최대성: 비전순서인 이바이카르티esian 범주이면서 동일한 등식을 만족하는 경우, 반드시 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 의 모든 등식을 만족한다.
• $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ 또는 $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$ 가 $\times,+$-범주에서 성립하면, 그 범주는 전순서가 된다.
• 비분배적 결합-선택 논리에서 표준 증명 등가의 정의는 최적이다: 추가 등식을 도입하면 등가 관계가 자명해진다.
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ 의 등식 이론은 보존적이다: $\mathcal{C}_{\times,+}$ 의 언어에서 표현된 등식이 확장된 범주에서 성립한다면, 반드시 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 에서도 성립한다.