[논문 리뷰] Bicomplex Third-order Jacobsthal Quaternions

Gamaliel Cerda|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 19.

Advanced Mathematical Theories and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중복소수 수체계 위에서 정의된 삼차 선형 재귀를 통해 새로운 수열인 이중복소수 삼차 제이코브스탈 쿼aternion을 제안한다. 이는 바인에트 유사 공식, 생성함수, 카시니의 항등식과 드옥아뉴의 항등식을 유도하며, 네 대각선 행렬을 이용한 행렬식 기반의 방법을 제시하여 이 하이퍼복소수 수열의 새로운 계산 접근법을 제공한다.

ABSTRACT

The aim of this work is to consider the bicomplex third-order Jacobsthal quaternions and to present some properties involving this sequence, including the Binet-style formulae and the generating functions. Furthermore, Cassini's identity and d'Ocagne's identity for this type of bicomplex quaternions are given, and a different way to find the $n$-th term of this sequence is stated using the determinant of a four-diagonal matrix whose entries are bicomplex third-order quaternions.

연구 동기 및 목표

• 이중복소수 대수에서 삼차 제이코브스탈 수의 일반화로서 이중복소수 삼차 제이코브스탈 쿼aternion을 정의하고 연구하는 것.
• 이 수열에 대한 바인에트 유사 공식 및 생성함수를 수립하는 것.
• 이중복소수 쿼aternion 수열에 대한 카시니의 항등식과 드옥아뉴의 항등식을 증명하는 것.
• 이중복소수 쿼aternion 성분을 가진 네 대각선 행렬의 행렬식을 이용한 제n항 계산을 위한 대체 방법을 제시하는 것.

제안 방법

• 이중복소수 삼차 제이코브스탈 쿼aternion은 다음과 같은 재귀관계로 정의된다: $\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \mathrm{BC}_{J,n-1}^{(3)} + \mathrm{BC}_{J,n-2}^{(3)} + 2\mathrm{BC}_{J,n-3}^{(3)}$이며, 초기값은 $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)} = i + j + 2ij$, $\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)} = 1 + i + 2j + 5ij$, $\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)} = 1 + 2i + 5j + 9ij$이다.
• 특성방정식 $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$의 근 $\omega_1, \omega_2$를 이용하여 바인에트 공식을 유도하며, $\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}$를 $\widehat{2} \cdot 2^n$, $\widehat{\omega_1} \cdot \omega_1^n$, $\widehat{\omega_2} \cdot \omega_2^n$의 선형결합으로 표현한다.
• 재귀관계와 초기조건을 바탕으로 생성함수를 구성하여 수열의 형식적 멱급수 표현을 제공한다.
• 카시니의 항등식과 드옥아뉴의 항등식은 바인에트 공식의 대수적 변형 및 이중복소수 쿼aternion의 성질을 이용하여 증명된다.
• 초기항과 재귀 계수에서 유도된 항을 가진 $(n+1) \times (n+1)$ 네 대각선 행렬의 행렬식을 이용한 제n항 계산을 위한 새로운 방법을 제시한다.
• 행렬 공식은 계수 $r=1$, $s=1$, $t=2$를 사용하며, 역수와 스케일된 항을 포함하여 재귀와 일관성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중복소수 삼차 제이코브스탈 쿼aternion 수열은 이중복소수 수체계 내에서 어떻게 형식적으로 정의되고 대수적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 이 수열의 제n항에 대한 폐쇄형 바인에트 유사 공식은 무엇인가?
• RQ3 이 수열이 만족하는 생성함수 및 항등식(예: 카시니의 항등식, 드옥아뉴의 항등식)은 무엇인가?
• RQ4 제n항은 구조화된 행렬의 행렬식을 통해 계산될 수 있는가? 만약 가능하다면, 그 행렬의 형태는 어떠한가?
• RQ5 이중복소수의 대수적 성질은 이 쿼aternion 수열의 행동과 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이중복소수 삼차 제이코브스탈 쿼aternion의 바인에트 공식은 $\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \frac{1}{7}\left(\widehat{2} \cdot 2^{n+1} - \frac{\widehat{\omega_1} \omega_1^n - \widehat{\omega_2} \omega_2^n}{\omega_1 - \omega_2}\right)$로 주어지며, 여기서 $\widehat{2}, \widehat{\omega_1}, \widehat{\omega_2}$는 특성방정식의 근에서 유도된 이중복소수 쿼aternion이다.
• 수열의 생성함수는 재귀관계와 초기조건을 바탕으로 형식적 멱급수로 유도되어 수열의 해석적 다루기 가능성을 제공한다.
• 카시니의 항등식과 드옥아뉴의 항등식이 이 수열에 대해 확립되었으며, 고전적 항등식이 이중복소수 쿼aternion 환경으로 확장됨을 보였다.
• 제n항을 계산하기 위한 새로운 방법이 제시되었으며, 이는 $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)}$, $\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)}$, $\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)}$, 그리고 재귀의 스케일된 계수를 포함하는 $(n+1) \times (n+1)$ 네 대각선 행렬의 행렬식을 통해 이루어진다.
• 합의 제곱이 바인에트 공식에 연결된 항등식 $\left(\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+1}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+2}^{(3)}\right)^2 = \frac{1}{7}\left(3\cdot\widehat{2}^2 \cdot 2^{2n+2} - \widehat{2} \cdot 2^{n+2} \cdot \mathrm{BC}_{U,n}^{(3)} + 2ij\right)$가 증명되었으며, 이는 이중복소수 쿼aternion의 선형조합으로 표현된다.
• 수열은 $V_n^{(3)} = V_{n+3}^{(3)}$ 및 $V_n^{(3)} = 2$ if $n \equiv 0 \pmod{3}$, $-3$ if $n \equiv 1 \pmod{3}$, $1$ if $n \equiv 2 \pmod{3}$를 만족하며, 이는 바인에트 공식에서 핵심적인 역할을 한다.