[논문 리뷰] Bid--Ask Martingale Optimal Transport

Bryan Liang, Marcel Nutz외 2명|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 14.

Stochastic processes and financial applications인용 수 0

한 줄 요약

본 논문은 Martingale Optimal Transport(MOT)에 매수-매도 마진을 반영하여 일반 vanilla 옵션의 매수-매도 마찰을 포함시키는 BAMOT(Bid–Ask MOT)을 정의하고, 모나드 간 제약을 convex order로 두는 확장이다. 강한 이중성(strong duality)을 증명하고, 스프레드가 소멸할 때 MOT로의 수렴을 분석하며, 합성 및 실제 데이터 예제를 통해 실용적 시사점을 제시한다.

ABSTRACT

Martingale Optimal Transport (MOT) provides a framework for robust pricing and hedging of illiquid derivatives. Classical MOT enforces exact calibration of model marginals to the mid-prices of vanilla options. Motivated by the industry practice of fitting bid and ask marginals to vanilla prices, we introduce a relaxation of MOT in which model-implied volatilities are only required to lie within observed bid--ask spreads; equivalently, model marginals lie between the bid and ask marginals in convex order. The resulting Bid--Ask MOT (BAMOT) yields realistic price bounds for illiquid derivatives and, via strong duality, can be interpreted as the superhedging price when short and long positions in vanilla options are priced at the bid and ask, respectively. We further establish convergence of BAMOT to classical MOT as bid--ask spreads vanish, and quantify the convergence rate using a novel distance intrinsically linked to bid--ask spreads. Finally, we support our findings with several synthetic and real-data examples.

연구 동기 및 목표

• 매수-매도 마찰이 존재하는 vanilla 옵션의 비유동 파생상품 가격 책정 및 헤지의 강건성 제고를 목표로 한다.
• MOT를 일반화하여 정확한 한계치(calibration) 대신 매수-매도에 의해 제한된 옆측 한계의 convex order를 사용한다.
• BAMOT 원가 문제와 듀얼 문제 사이의 강한 이중성을 확립한다.
• 매수-매도 스프레드가 사라질 때 BAMOT가 고전적 MOT로 수렴하는 것을 증명하고 수렴 속도를 정량화한다.
• 합성 데이터와 실제 시장 데이터를 사용하여 이론적 통찰과 수치적 예시를 제공한다.

제안 방법

• BAMOT 원 문제를 형식화: convex order로 매수, 매도 한계가 있는 마르코프(measure)에서 기대 payoff를 최대로 한다.
• BAMOT 듀얼 문제를 형식화: 매수에서 산 정적 convex 헷지와 매도에서 판매한 헷지의 차를 포함하여 동적 헷지로 payoff를 초과헤지하도록 비용을 최소화한다.
• 단일 만기 경우에 대해 Hahn–Banach 주장을 통해 강한 이중성(P(h)=D(h))을 먼저 확립하고, 이후 다중 만기에 대해 minimax 접근과 MOT 이중성으로 확장한다.
• 매수-매도 스프레드가 감소할 때 고전적 MOT와의 일관성을 보이고 BAMOT 가치 및 최적 전략의 수렴을 보인다.
• 단일 만기 사례에서 매수-매도 거리 메트릭을 도입해 convex 함수 차이 및 상하 반연속(payoff의 upper semicontinuous) payoff에 대한 수렴 속도를 정량화한다.
• 해석적 및 수치적 예제에 프레임워크를 적용: 편측 시장의 닫힌 형식의 디지털 옵션과 실제 SPX 데이터를 포함한다.

Figure 1 : Bid, model, and ask implied volatility skews for S&P 500 Index (SPX) options expiring on 03-21-2025, as of 02-27-2025.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MOT를 vanilla 옵션의 매수-매도 가격 마찰을 수용하도록 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ2 단일 및 다중 만기에 대한 BAMOT의 이중 표현 및 강한 이중성은 어떻게 되는가?
• RQ3 매수-매도 스프레드가 소멸할 때 BAMOT는 고전적 MOT와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특정 payoff 클래스에 대해 매수-매도 마찰 하에서 BAMOT 가격의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ5 BAMOT 경계가 실용적 가격 책정 및 비유동 파생상품 헤지에서 중간 가격 MOT와 얼마나 차이가 있는가?

주요 결과

• 매수-매도 마찰 하에서 BAMOT는 비유동 파생상품에 대한 현실적인 가격 경계를 제공한다.
• 강한 이중성 성립: BAMOT 원가(P) 값은 상하 연속(payoff이 상향 연속이고 선형 증가하는 성장)을 가진 듀얼 초과 헤지 비용과 같다.
• 스프레드가 소멸하면 BAMOT는 고전적 MOT로 수렴하고, 수렴 속도는 새로운 매수-매도 거리로 안내된다.
• 듀얼 문제는 vanilla payoff에 대해서도 비트리지 않은(nontrivial) 상태를 유지하는데, 이는 매수와 매도 convex 헷지를 최적으로 결합해야 하기 때문이다.
• 수치 실험은 중간 수익(price)만으로는 매수-매도 마찰 아래 초과 헤지 가격을 크게 과소평가할 수 있음을 보여주고, BAMOT는 리스크 리버설 및 ATM 디지털 옵션의 수렴 동향을 포착한다.

Figure 2 : Bid–ask spread ( $\mathdollar$ ) of S&P 500 Index (SPX) options as of 02-07-2025.