[논문 리뷰] Bide - Side Exponential and Moment Inequalities for Tails of Distributions of Polynomial Martingales

E. Ostrovsky|ArXiv.org|2004. 06. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 다항 마르티ン갈 $ Q_d $ 의 尾 분포에 대한 비 渐近적 지수 및 모멘트 부등식을 수립하며, 단위 구 위의 계수 시퀀스 전반에 걸쳐 균일한 경계를 도출한다. 다항 마르티ン갈의 尾 감쇠는 일반화된 모멘트 지수 $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $ 에 의해 결정되며, 마르티ン갈 차이 $ \xi(i,m) $ 의 귀두 행동에 대한 날카운 경계를 제공한다. 이는 약한 컴팩트니 및 U-통계량 응용으로까지 확장된다.

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exponential estimates are derived for the tail distribution of polynomial martingale differences in terms unconditional tails distributions of summands. Applications are considered in the theory of polynomials on independent random variables, to the theory of U-statistics, multiply martingale series and in the theory of weak compactness measures on the Banach spaces. Partially supported by the Israel Ministry of Absorbtion Mathematics Subject Classification (2000): 47A45, 47B10, 60F10, 60G42.

연구 동기 및 목표

• 다항 마르티ン갈 차수 $ d $ 에 대해 계수에 관하여 균일한 비 渐近적 지수 경계를 도출하는 것.
• 기저 마르티ン갈 차이 $ \xi(i,m) $ 의 귀두 및 모멘트 행동에 따라 $ Q_d $ 의 尾 감쇠를 표현하는 것.
• 하한 및 상한이 상수까지 일치하는 최적의 경계를 확립하는 것.
• 메트릭 엔트로피 조건을 통해 약한 컴팩트니 및 U-통계량 응용으로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 다음과 같이 정의: $ Q_d = \sum_{I \in I(d,n)} b(I) \xi(I) $, 여기서 $ \xi(I) = \prod_{m=1}^d \xi(i_m, m) $, $ \xi(i,m) $ 는 중심 마르티ン갈 차이이다.
• 다음 지수를 도입: $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $, 이는 $ Q_d $ 의 尾 감쇠 속도를 결정한다.
• Tail 및 모멘트 행동을 기술하기 위해 공간 $ G(q) $ 와 일반화된 $ G(q,r) $ 공간을 사용한다.
• 다음과 같은 균일 경계 수립: $ S(\vec{q}, x) = \sup_{b \in B} \sup_{\{\xi(i,m)\}} T(Q_d, x) $, 여기서 $ T(\cdot, x) $ 는 대칭 尾 확률이다.
• 메트릭 엔트로피 및 주요 측도 기법을 적용하여 랜덤 필드 $ \tau(t) $ 와 $ \zeta(t) $ 의 거의 확실한 균일 수렴 조건을 도출한다.
• 곱의 차이에 대한 항등식을 사용하여 $ \zeta(t_1) - \zeta(t_2) $ 를 $ \xi(i,m,t) $ 의 차이에 따라 경계함으로써 주요 부등식의 적용 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 구성요소의 귀두 행동에 따라, 동차 다항 마르티ン갈 $ Q_d $ 의 날카운 비 渐近적 尾 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ2 계수 시퀀스 $ b \in B(d,n) $ 전반에 걸쳐, $ \xi(i,m) $ 의 귀두 및 모멘트 조건만으로 $ Q_d $ 의 귀두 행동을 균일하게 경계할 수 있는가?
• RQ3 결과는 계수 또는 랜덤 필드에 의존하는 매개변수를 가진 랜덤 필드 $ \tau(t) $ 와 $ \zeta(t) $ 로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 매개변수 공간 $ V $ 에 대한 어떤 메트릭 엔트로피 조건이 랜덤 필드 $ \zeta(t) $ 의 균일 수렴성과 가우시안 유사 尾 감쇠를 보장하는가?

주요 결과

• 만약 $ \sup_i T(\xi(i,m), x) \leq \exp\left(-(x/K(m))^{q(m)}\right) $ 이면, $ Q_d $ 의 尾는 $ \exp\left(-\left[x/(C_1 K)\right]^M\right) \leq S(\vec{q}, x) \leq \exp\left(-\left[x/(C_2 K)\right]^M\right) $ 를 만족하며, 여기서 $ M = M(d, \vec{q}) $ 이다.
• 이 경계는 날카롭다: 불등식 (1.6) 은 향상될 수 없으며, 하한이 상한과 상수까지 일치하기 때문이다.
• 결과는 랜덤 필드 $ \tau(t) $ 로 확장되며, $ (V, r_1) $ 에 대한 메트릭 엔트로피 조건 하에서 $ T(\sup_t |\tau(t)|, x) \leq \exp\left(-C_{10} x^{M(d,q)}\right) $ 를 만족한다.
• 매개변수에 의존하는 $ \xi(i,m,t) $ 에 대해서는 $ (V, r_2) $ 에 대한 유사한 엔트로피 조건 하에서 동일한 尾 감쇠가 유지되며, 여기서 $ r_2(t_1,t_2) = \sum_m \sup_i ||\xi(i,m,t_1) - \xi(i,m,t_2)||_{q(m)} $ 이다.
• 주요 측도 기법을 통해 적절한 유계성 및 엔트로피 조건 하에서 $ \zeta_\alpha(t) $ 의 분포 집합은 약한 컴팩트성을 가진다.