[논문 리뷰] Bifundamental Multiscalar Fixed Points in $d=3-ε$

Samarth Kapoor, Shiroman Prakash|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 02.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $d=3-\epsilon$ 차원에서 $O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 대칭성을 가진 이중 기본 다중 스칼라 고정점에 대해 연구한다. 이는 삼중临계 섭동 벡터 모델의 일반화이다. 큰 $N$ 및 큰 $M/N$ 전개를 사용하여 $d=3-\epsilon$ 에서 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 까지 유일한 적외선 고정점을 규명하였으며, $\epsilon \sim O(M/N)$ 에서 이 고정점과 융합하는 초록색 고정점이 존재함을 발견하여, 아인슈타인 중력의 비초월 대칭 CFT 이중성이 존재할 가능성을 시사한다.

ABSTRACT

We study fixed-points of scalar fields that transform in the bifundamental representation of $O(N) imes O(M)$ in $3-ε$ dimensions, generalizing the classic tricritical sextic vector model. In the limit where $N$ is large but $M$ is finite, we determine the complete beta function to order $1/N$ for arbitrary $M$. We find a rich collection of large-$N$ fixed-points in $d=3$, as well as fixed-points in $d=3-ε$, that can be studied to all orders in the parameter $\hatε=Nε$. With the goal of defining a large-$N$ nonsupersymmetric conformal field theory dominated by a web of planar diagrams, we also study fixed-points in the ``bifundamental'' large-$N$ limit, in which $M$ and $N$ are both large, but the ratio $M/N$ is held fixed. We find a unique infrared fixed-point in $d=3-ε$, which we determine to order $ε^2$. When $M/N \ll 1$, we also find an ultraviolet fixed-point in $d=3$ and $d=3-ε$ that merges with the infrared fixed-point at $ε\sim O(M/N)$. We expect at least one of two candidate fixed-points in integer dimensions -- the infrared fixed-point in $d=2$ and the ultraviolet fixed-point in $d=3$ -- to survive for finite values of $M/N$.

연구 동기 및 목표

• 이론의 $O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 대칭성을 가진 스칼라 이론이 $d=3-\epsilon$ 차원에서 존재하는 conformal 고정점의 존재성과 구조를 조사하는 것.
• 유한한 $M$ 을 가진 큰 $N$ 근사에서, 그리고 $M/N$ 이 유한한 이중 기본 큰 $N$ 근사에서 이러한 이론의 위상도를 탐색하는 것.
• $\epsilon$-전개를 통해 제어 가능한 방식으로 고정점을 분석함으로써, 평면 다이어그램 지배와 중력 이중성이 아인슈타인 중력인 비초월 대칭 CFT 가 존재할 수 있다는 추측을 검증하는 것.
• 안정성 행렬의 복소 또는 허수 고유값을 가진 비정상 고정점을 식별하여, 한계 사이클 또는 이국적인 RG 흐름을 시사하는 것.

제안 방법

• $M$ 이 유한한 큰 $N$ 근사에서, 페르투르바티브 $\epsilon$-전개와 큰 $N$ 기법을 사용하여 $\mathcal{O}(1/N)$ 까지 완전한 베타 함수를 유도한다.
• 메트릭 $T$ 를 두 점 함수의 역행렬로부터 유도하여, 베타 함수를 잠재력의 기울기로 표현하는 기울기 흐름 형식을 적용한다.
• $N \to \infty$ 와 $M/N$ 이 유한한 극한에서 고정점을 체계적으로 분석하며, 고정점의 구조에 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 보정을 포함한다.
• $\hat{\epsilon} = N\epsilon$ 를 사용하여 이론을 재스케일링하고, $\hat{\epsilon}$ 의 모든 차수에서 고정점을 연구함으로써 제어 가능한 전개를 가능하게 한다.
• 안정성 행렬 $\partial\beta_i / \partial g_j$ 를 분석하여, 복소 또는 순수 허수 고유값을 가진 비정상 고정점을 탐지함으로써, 한계 사이클의 가능성을 탐지한다.
• 비정수 $M$ 으로의 확장을 통해 비유닛리티 영역과 이국적인 RG 흐름의 가능성을 탐색하며, $O(M)$ 대칭의 범주론적 수식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 $M/N$ 을 가진 큰 $N$ 근사에서, $O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 이중 기본 스칼라 이론이 $d=3-\epsilon$ 에서 고유한 적외선 고정점이 존재하는가?
• RQ2 $M/N \ll 1$ 일 때, $d=3$ 에 초록색 고정점이 나타나며, $\epsilon \sim O(M/N)$ 에서 적외선 고정점과 융합하는가?
• RQ3 안정성 행렬에서 복소 또는 순수 허수 고유값을 가진 고정점이 존재하는가? 이는 한계 사이클 또는 비정상적인 RG 흐름을 시사할 수 있다.
• RQ4 $\epsilon$-전개와 고정점의 구조에 기반해, 평면 다이어그램 웹과 아인슈타인 중력의 히알로지컬 이중성을 가진 비초월 대칭 CFT 가 이 이론에서 실현 가능한가?

주요 결과

• 유한한 $M/N$ 에서 $d=3-\epsilon$ 에서 고유한 적외선 고정점이 존재하며, 이는 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 까지 결정되며, $M/N$ 과 $\epsilon$ 에 따라 달라지는 결합 상수가 존재한다.
• $M/N \ll 1$ 일 때, $d=3$ 과 $d=3-\epsilon$ 에 초록색 고정점이 나타나며, $\epsilon \sim O(M/N)$ 에서 적외선 고정점과 융합한다.
• 범위 $0 < M < 2$ 에서 비정수 $M$ 을 고려할 경우, 안정성 행렬에서 복소 고유값을 가진 고정점이 나타나며, 이는 나선형에 가까운 RG 궤적을 나타낸다. 그러나 순수 허수 고유값은 발견되지 않아 한계 사이클은 발생하지 않는다.
• $-3 < M < 0$ 범위에서는 순수 허수 고유값을 가진 고정점이 존재하지 않으며, $M < -3$ 일 경우 역메트릭이 음의 정부호가 되어 비정상 고정점은 배제된다.
• $d=3$ 과 $d=2$ 의 정수 차원에서 고정점은 유한한 $M/N$ 에서도 유지될 것으로 예상되며, 적어도 적외선($d=2$) 또는 초록색($d=3$) 고정점 중 하나는 물리적일 것이다.
• 이 이론은 $d=3$ 에서 큰 $N$ 고정점의 rich한 구조를 지니며, 이국적인 안정성 행렬 성질을 가진 비유닛리티 고정점도 포함하지만, 한계 사이클은 실현되지 않는다.