[논문 리뷰] Bifurcation analysis of two-dimensional Rayleigh--B\'enard convection using deflation

Nicolas Boullé, Vassilios Dallas외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 21.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 54인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 슬립이 없는 경계 조건을 가진 2D 레일라이흐–베나르 대류에 대한 탈출 기반 분기 분석을 제시하며, 사전 해 지식 없이도 다수의 정 steady 상태—해를 분리한 지점이 포함된 상태—를 발견할 수 있도록 한다. 이는 유동 반전 역학과 관련된 히스테리시스를 보이는 S자형 분기 곡선을 규명하고, 선형 안정성 분석을 통해 해의 영역을 특성화한다.

ABSTRACT

We perform a bifurcation analysis of the steady states of Rayleigh--B\'enard convection with no-slip boundary conditions in two dimensions using a numerical method called deflated continuation. By combining this method with an initialisation strategy based on the eigenmodes of the conducting state, we are able to discover multiple solutions to this non-linear problem, including disconnected branches of the bifurcation diagram, without the need for any prior knowledge of the solutions. One of the disconnected branches we find contains an S-shaped curve with hysteresis, which is the origin of a flow pattern that may be related to the dynamics of flow reversals in the turbulent regime. Linear stability analysis is also performed to analyse the steady and unsteady regimes of the solutions in the parameter space and to characterise the type of instabilities.

연구 동기 및 목표

• 슬립 경계 조건이 있는 2D 레일라이흐–베나르 대류에서 해를 분리한 지점이 포함된 전체 정 steady 상태 해의 집합을 조사한다.
• 점성 대류 영역에서의 유동 반전 현상의 기원을 분기 이론을 분석하여 이해한다.
• 초기 추측이나 안정성 가정 없이 다수의 해를 찾을 수 있는 탈출 기반 수치 방법을 개발하고 적용한다.
• 계산된 해에 대해 선형 안정성 분석을 수행하여 매개변수 공간에서의 역학적 행동을 분류한다.
• 대칭성(거울 대칭 및 부시네스크 대칭)이 분기 구조 형성에 미치는 영향을 규명한다.

제안 방법

• 뉴턴 방법에 탈출 연산자를 도입하여 정 steady 상태 나비에-스토크스-부시네스크 방정식의 다수의 해를 계산하기 위해 탈출 연속 기법을 활용한다.
• 비자명한 해로의 수렴을 향상시키기 위해 도전성 상태의 고유모드를 초기 추측으로 사용한다.
• 레이저 수치(Ra)를 변화시키며 해의 분기를 따라가기 위해 아크길이 연속 기법을 적용한다.
• 계산된 정 steady 상태에 대해 아르니디 반복을 통해 선형 안정성 분석을 수행하여 허프 분기와 비정상 상태 불안정성을 탐지한다.
• 문제의 대칭성(거울 대칭 및 부시네스크 대칭)을 활용하여 해의 초기화를 안내하고 분기 구조를 해석한다.
• 공간 이산화에는 FEniCS 유한요소 패키지를, 대규모 선형 시스템의 해법에는 MUMPS를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슬립 벽을 가진 2D 레일라이흐–베나르 대류에서 해를 분리한 지점이 포함된 전체 정 steady 상태 해의 집합은 무엇인가?
• RQ2 탈출 연속 기법은 사전 지식이나 시간 적분 초기화에 의존하지 않고도 해를 발견할 수 있는가?
• RQ3 turbulent 대류에서 관측된 유동 반전 역학의 기원은 무엇이며, 레이저 수치가 낮은 영역의 분기 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 시스템의 대칭성이 분기 다이어그램과 다수의 해 분지 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 어느 해 분지는 선형적으로 안정적이거나 불안정한가, 그리고 어떤 유형의 불안정성(Hopf 등)을 나타내는가?

주요 결과

• 탈출 연속 기법은 기존에 알려지지 않은 해를 분리한 S자형 분지와 함께 다수의 정 steady 상태를 성공적으로 발견하였다.
• S자형 분지에는 난류 영역에서 관측된 유동 반전 역학의 기초가 될 수 있는 해들이 포함되어 있다.
• 선형 안정성 분석 결과, S자형 분지는 허프 분기를 보이며, 이는 시간 주기적 비정상 상태의 발생을 나타낸다.
• 도전성 상태는 Ra ≈ 1708에서 안정성을 상실하며, 고전적 선형 안정성 이론과 일치한다.
• S자형 분지의 해는 Ra < 1708에서는 불안정하고, 이후 좁은 구간에서 안정성이 회복되며 다시 허프 분기를 통해 안정성이 상실된다.
• 고유모드 기반 초기화를 통해 사전 지식 없이도 불안정하거나 해를 분리한 분지의 해를 성공적으로 발견하였다.