[논문 리뷰] Bifurcation and multiplicity results for critical fractional p-Laplacian problems

Kanishka Perera, Marco Squassina외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 37인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임계 분수 $p$-라플라스 문제에 대해 분기와 다중성 결과를 확립하며, $p=2$인 반선형 케이스에서의 Brézis-Nirenberg 결과를 모든 $p \in (1,\infty)$에 대해 비국소적, 준선형 설정으로 확장한다. $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수와 허위 지수를 기반으로 한 새로운 추상적 임계점 정리에 의해, 매개변수 $\lambda$가 $(k+1)$-번째 고유값 $\lambda_{k+1}$에 접근함에 따라 $m$개의 서로 다른 비자명한 해 쌍이 0으로 수렴함을 증명한다. 이는 최적의 소볼레프 상수와 도메인 측도를 포함한 날카로운 조건에 기반한다.

ABSTRACT

In this paper we investivate bifurcation results for a class of problem in a smooth bounded domain involving the fractional p-Laplacian operator and with a nonlinearity that reaches the critical growth with respect to the fractional Sobolev embedding.

연구 동기 및 목표

• 임계 분수 라플라스 문제($p=2$)에 대한 고전적인 Brézis-Nirenberg 분기 및 다중성 결과를 모든 $p \in (1,\infty)$에 대해 준선형 비국소적 $p$-라플라스 문제로 확장한다.
• 선형 고유공간이 존재하지 않는 $p \neq 2$인 경우, 비국소적 비선형 연산자를 포함한 임계 분수 $p$-라플라스 문제에 대해 다수의 비자명한 약한 해의 존재를 확립한다.
• 선형 부분공간이 없는 준선형 케이스에 적합한, $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수와 관련된 허위 지수를 기반으로 한 새로운 추상적 임계점 정리를 개발한다.
• 해가 $(k+1)$-번째 고유값 $\lambda_{k+1}$에서 분기하고 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$일 때 노름으로 0으로 수렴함을 증명한다. 이는 최적의 소볼레프 상수와 도메인 측도를 포함한 날카로운 조건에 기반한다.

제안 방법

• 저자들은 영역 $\Omega$에서 영 타르스를 갖는 분수 소볼레프 공간 $X_p^s(\Omega)$ 위에서 정의된 에너지 함수 $I_\lambda$를 기반으로 한 변분 프레임워크를 사용한다.
• $c < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$일 때 $(\text{PS})_c$ 조건을 확립하여, 최적의 소볼레프 포함 상수와 관련된 임계 수준 이하에서 팔라이스-스메일 수열의 컴팩턴스를 보장한다.
• 준선형 케이스에서 선형 부분공간이 없음을 고려해, $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수와 허위 지수 구성법을 사용한 새로운 추상적 임계점 정리를 개발한다.
• 증명은 대칭적이고 컴팩트한 부분집합 $A_0 \subset \Psi^{\lambda_{k+m}}$와 $i(A_0) = k+m$ 및 $B_0 = \Psi_{\lambda_{k+1}}$와 $i(S_1 \setminus B_0) = k$를 만족하는 집합을 구성함으로써 이루어지며, 이는 추상 정리의 기하학적 조건을 충족시킨다.
• $I_\lambda$는 다양한 집합에서 추정된다: 작은 $r$에 대해 $B_0$에서 $I_\lambda > 0$, 큰 $R$에 대해 $A$에서 $I_\lambda \leq 0$, 그리고 $\sup I_\lambda(X) < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$이므로, 추상 정리를 통해 $m$개의 임계점이 존재함을 보장한다.
• $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$일 때 해가 0으로 수렴함을 $|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ 항등식을 통해 보여주며, 이는 $\|u_j^\lambda\| \to 0$임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 분수 라플라스 문제($p=2$)에 대한 분기 및 다중성 결과를 모든 $p \in (1,\infty)$에 대해 준선형 $p$-라플라스 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ2 $p \neq 2$일 때 선형 고유공간이 없는 분수 $p$-라플라스 문제에 대해 임계점 이론을 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ3 $\lambda_{k+1}$ 근처에서 $m$개의 서로 다른 비자명한 해 쌍이 존재하는 데 필요한 $\lambda$의 정확한 조건은 무엇이며, 이는 최적의 소볼레프 상수와 도메인 측도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\lambda$가 $\lambda_{k+1}$에 접근함에 따라 해는 어떻게 행동하는가? 그리고 이들의 0으로 수렴함을 정량적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• $\lambda_k < \lambda < \lambda_{k+1}$ 이며 $\lambda > \lambda_{k+1} - \frac{S_{s,p}}{|\Omega|^{2s/N}}$일 때, 문제는 $m$개의 서로 다른 비자명한 약한 해 쌍 $\pm u_j^\lambda$를 갖는다. 여기서 $m$은 $\lambda_{k+1}$의 중복도이다.
• 해는 $0 < I_\lambda(u_j^\lambda) \leq \frac{s}{N} |\Omega| (\lambda_{k+1} - \lambda)^{N/sp} \to 0$을 만족하며, 이는 에너지 측면에서 0으로 수렴함을 나타낸다.
• $L^{p_s^*}$-노름은 $|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$을 만족하여, $L^{p_s^*}(\Omega)$에서 강한 수렴을 의미한다.
• $X_p^s(\Omega)$-노름은 $\|u_j^\lambda\| \to 0$을 만족하며, 이는 $L^p$-노름의 수렴성과 에너지의 유계성에 기인한다.
• 임계 수준 $\frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$는 $(\text{PS})_c$ 조건에 대해 날카로운 것이며, 추상 임계점 정리는 정확히 이 임계 수준 이하에서 적용된다.
• 논문은 $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수와 허위 지수를 기반으로 한 새로운 추상 임계점 정리를 구축하였으며, 이는 $p \neq 2$인 비타원형 비선형 설정에서 필수적이다.