[논문 리뷰] Bifurcation in entanglement renormalization group flow of a gapped spin model

Jeongwan Haah|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2013. 10. 16.

Quantum many-body systems인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 3차원 입방체 모델의 기본 상태가 유한 깊이 양자 회로 하에서 유한 깊이 양자 회로에 의해 기저 상태가 $a$ 간격의 격자에서 $2a$ 간격의 더粗격자로의 분기형 엔트로피 재정규화 그룹(ERG) 흐름을 겪으며, 이는 두 개의 서로 다른 가시 에너지 스핀 모델인 $H_A$와 $H_B$의 텐서 곱으로 변환됨을 보여준다. 주요 결과는 $H_A$와 $H_B$가 서로 다른 양자 상임을 보이며, $H_B$는 추가로 자신과 동일한 두 개의 복사본으로 분해되며, 이는 장거리 위상적 순서의 배경에 깔린 계층적이고 분기형 엔트로피 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

We study entanglement renormalization group transformations for the ground states of a spin model, called cubic code model $H_A$ in three dimensions, in order to understand long-range entanglement structure. The cubic code model has degenerate and locally indistinguishable ground states under periodic boundary conditions. In the entanglement renormalization, one applies local unitary transformations on a state, called disentangling transformations, after which some of the spins are completely disentangled from the rest and then discarded. We find a disentangling unitary to establish equivalence of the ground state of $H_A$ on a lattice of lattice spacing $a$ to the tensor product of ground spaces of two independent Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ on lattices of lattice spacing $2a$. We further find a disentangling unitary for the ground space of $H_B$ with the lattice spacing $a$ to show that it decomposes into two copies of itself on the lattice of the lattice spacing $2a$. The disentangling transformations yield a tensor network description for the ground state of the cubic code model. Using exact formulas for the degeneracy as a function of system size, we show that the two Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ represent distinct phases of matter.

연구 동기 및 목표

• 지역적으로 구별 불가능하고 크기에 따라 디세너지가 변하는 3차원 입방체 모델의 기저 상태의 장거리 얽힘 구조를 이해하기 위해.
• 이 모델이 비정상적인 위상적 순서를 보일 경우, 엔트로피 재정규화 그룹(ERG) 변환이 이 모델의 기저 상 구조를 드러내는 데 유용한가를 조사하기 위해.
• 지역 유니터리 변환 하에서의 ERG 흐름과 디세너지 스케일링을 분석함으로써 유도된 상들을 분류하기 위해.
• 기본 상태를 분리 가능한 구성 요소로 나누는 디센트 유니터리들을 통해 기저 상태의 텐서 네트워크 기술을 수립하기 위해.

제안 방법

• 유한 깊이 양자 회로(지역 유니터리 변환)를 적용하여 큐비트를 디센트하고 시스템을 군집화함으로써 원래의 $a$ 간격 격자에서 $2a$ 간격의 더 군집된 격자로 매핑하기.
• 기본 상태의 $H_A(a)$를 $H_A(2a)$와 $H_B(2a)$의 기본 상태의 텐서 곱과 정규 상태로 변환하는 정확한 디센트 유니터리 $U$와 $V$를 유도함.
• 시스템 크기 함수로서 기저 상태 디세너지의 정확한 공식을 사용하여 $H_A$와 $H_B$가 서로 다른 양자 상임을 확인함.
• 지역 유니터리 작용에 의한 바나흐-비엔니에르 엔트로피 변화를 제한하는 보조정리를 사용하여 분기형 MERA 프레임워크에서 엔트로피 스케일링을 분석함.
• 군집화된 상태의 엔트로피 스케일링을 분석하여 ERG 흐름의 임계 행동을 결정함. 특히 분기 수와 공간 차원의 의존성에 초점함.
• ERG 흐름이 분기형으로 이어지며, 분기 수 $b_n$이 $b^n$으로 증가함을 증명함. 여기서 $b$는 엔트로피 스케일링 행동을 결정함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방체 모델의 엔트로피 재정규화 그룹 흐름은 분기형을 보이며, 더 군집된 격자에서 다수의 서로 다른 효과적 해밀토니안을 유도하는가?
• RQ2 유한 깊이 양자 회로는 입방체 모델의 기저 상태를 더 군집된 격자에서 상호작용이 없는 해밀토니안의 텐서 곱으로 디센트할 수 있는가?
• RQ3 유도된 해밀토니안 $H_A$와 $H_B$는 디세너지 스케일링에 의해 물리적으로 구별 가능한 상인가?
• RQ4 군집화된 시스템에서 엔트로피 스케일링은 어떻게 되며, 이는 기저 양자 상의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 엔트로피 재정규화 그룹 흐름에서 분기형 구조의 역할은 무엇이며, MERA 프레임워크에서 엔트로피 스케일링에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 깊이 양자 회로 $U$는 $H_A(a)$의 기저 상태를 $H_A(2a)$와 $H_B(2a)$의 기저 상태의 텐서 곱과 정규 상태로 매핑하며, 이는 분기형 ERG 흐름을 보여줌.
• 다른 유한 깊이 회로 $V$는 $H_B(a)$의 기저 상태를 두 개의 $H_B(2a)$ 기저 상태의 텐서 곱으로 매핑함으로써 $H_B$ 상의 자기 유사성(셀프-유사성)을 보여줌.
• $H_A$와 $H_B$는 시스템 크기의 디세너지 스케일링이 다름으로써 서로 다른 양자 상임이 확인됨.
• 군집화된 상태의 엔트로피는 분기 인자 $b$에 따라 $O(L^{D-1})$, $O(L^{D-1} an heta)$, 또는 $O(L^{ ext{log}_2(b/2^{D-1})})$로 스케일링되며, 3D 시스템의 경우 $D=3$임.
• 엔트로피 스케일링 분석은 분기형 MERA 구조가 분기 수 $b_n$이 엔트로피 스케일링 행동을 결정하는 효과적 공간 차원을 유도하는 임계 행동을 유도함을 확인함.
• 디센트 유니터리는 입방체 모델 기저 상태의 정확한 텐서 네트워크 표현을 제공하며, 길이 척도 전반에 걸쳐 계층적이고 자기 유사적인 엔트로피 패턴을 드러냄.