[논문 리뷰] Bifurcation sets arising from non-integer base expansions

Pieter C. Allaart, Simon Baker외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정수 기수 전개에서의 분기 집합 𝔹 ⊂ (1, M+1]을 특성화하며, 여기서 단일기수 집합 𝒰_q의 위상적 엔트로피 H(q)가 불연속적으로 변화한다. 전이 기법을 사용하여 𝒰 ℓ𝔹의 하우스도르프 차원을 계산하며, 이는 0과 1 사이이며, M=1과 M=2의 경우 특정 다항식의 근을 포함한 정확한 값이 도출된다.

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and $q\in(1,M+1]$, let $\mathcal U_q$ be the set of $x\in[0, M/(q-1)]$ having a unique $q$-expansion: there exists a unique sequence $(x_i)=x_1x_2\ldots$ with each $x_i\in\{0,1,\ldots, M\}$ such that \[ x=\frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\cdots. \] Denote by $\mathbf U_q$ the set of corresponding sequences of all points in $\mathcal U_q$. It is well-known that the function $H: q\mapsto h(\mathbf U_q)$ is a Devil's staircase, where $h(\mathbf U_q)$ denotes the topological entropy of $\mathbf U_q$. In this paper we {give several characterizations of} the bifurcation set \[ \mathcal B:=\{q\in(1,M+1]: H(p) e H(q) extrm{ for any }p e q\}. \] Note that $\mathcal B$ is contained in the set $\mathcal{U}^R$ of bases $q\in(1,M+1]$ such that $1\in\mathcal U_q$. By using a transversality technique we also calculate the Hausdorff dimension of the difference $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$. Interestingly this quantity is always strictly between $0$ and $1$. When $M=1$ the Hausdorff dimension of $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$ is $\frac{\log 2}{3\log λ^*}\approx 0.368699$, where $λ^*$ is the unique root in $(1, 2)$ of the equation $x^5-x^4-x^3-2x^2+x+1=0$.

연구 동기 및 목표

• 단일기수 집합 𝒰_q의 위상적 엔트로피 H(q)가 다른 p ≠ q에 대해 H(p) ≠ H(q)인 q ∈ (1, M+1]인 분기 집합 𝔹 = {q ∈ (1, M+1] : H(p) ≠ H(q) for all p ≠ q}를 특성화하는 것.
• 1이 유일한 q-전개를 갖는 기수 q의 집합인 𝒰에 대해, 차집합 집합 𝒰 ℓ𝔹의 구조를 분석하는 것.
• 전이 기법과 기호 역학을 사용하여 𝒰 ℓ𝔹의 하우스도르프 차원을 계산하는 것.
• 모든 M ≥ 1에 대해 dim_H(𝒰 ℓ𝔹) ∈ (0,1)임을 증명하고, M=1과 M=2의 경우 정확한 값을 도출하는 것.
• (q_KL, M+1] 내의 엔트로피 플레이트오우 구조가 𝒰 ℓ𝔹에 대한 최대 차원 기여를 결정한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• x ∈ [0, M/(q−1)]에서 q-전개가 유일한 집합으로서 단일기수 집합 𝒰_q를 정의하고, 𝒰_q ⊂ I_q임을 확인한다.
• 기호적 단일기수 집합 𝒰_q = π_q^{-1}(𝒰_q)를 정의하고, 엔트로피 함수 H(q) = h(𝒰_q)를 연구한다.
• 전이 기법을 사용하여 대칭차집합 𝒰_p Δ 𝒰_q의 하우스도르프 차원을 추정한다.
• H(q)가 일정한 엔트로피 플레이트오우 [p_L, p_R] ⊂ (q_KL, M+1]를 특성화하고, p ≠ q일 때 𝒰_q ∧ 𝒰_p의 하우스도르프 차원이 0임을 확인한다.
• 플레이트오우의 주기 m과 우측 끝점 p_R에 대해 공식 dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) = log 2 / (m log p_R)를 적용한다.
• dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = sup over all entropy plateaus of dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R])임을 이용하고, m과 p_R에 대해 최적화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일기수 집합 𝒰_q의 위상적 엔트로피 H(q)가 불연속적으로 변화하는 분기 집합 𝔹의 정확한 특성은 무엇인가요?
• RQ2 𝒰 ℓ𝔹의 하우스도르프 차원은 어떻게 행동하며, 그 값은 무엇에 의해 결정되는가요?
• RQ3 어느 엔트로피 플레이트오우 [p_L, p_R]에서 dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R])가 최대가 되는가요?
• RQ4 M=1과 M=2의 경우 dim_H(𝒰 ℓ𝔹)의 정확한 값은 무엇이며, 이는 어떤 대수적 방정식과 관련이 있는가요?
• RQ5 모든 M ≥ 1에 대해 𝒰 ℓ𝔹의 하우스도르프 차원은 0과 1 사이에 엄격히 존재하는가요?

주요 결과

• 모든 M ≥ 1에 대해 𝒰 ℓ𝔹의 하우스도르프 차원은 0과 1 사이에 엄격히 존재한다.
• M=1일 때, dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (3 log λ*) ≈ 0.368699이며, 여기서 λ*는 x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 1 = 0의 (1,2) 내에 존재하는 유일한 근이다.
• M=2일 때, dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (2 log γ*) ≈ 0.339607이며, 여기서 γ*는 x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0의 (2,3) 내에 존재하는 유일한 근이다.
• M ≥ 3일 때, dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / log q_*(M)이며, 여기서 q_*(M)는 주기 m=1인 왼쪽 첫 번째 엔트로피 플레이트오우의 우측 끝점이다.
• 𝒰 ℓ𝔹에 대한 최대 차원 기여는 가장 작은 m와 가장 큰 p_R를 가진 엔트로피 플레이트오우에서 유래하며, M=1의 경우 이는 주기 m=3인 [λ_*, λ*]이다.
• 집합 𝒰 ℓ𝔹는 비가산이며, 𝒰 내에서 최대 하우스도르프 차원을 가지며, 르베그 영집합이다.