[논문 리뷰] Bifurcations of a Leslie Gower predator prey model with Holling type III functional response and Michaelis-Menten prey harvesting

Eric Ávila-Vales, Ángel Estrella-González외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 혼합형 할로잉 III 기능 반응과 마이칼리스-멘텐 피식자 수확을 포함한 수정된 레슬리-고어 포식자-피식자 모델을 분석한다. 동역학 시스템 이론을 활용하여 허프 및 안장-노드 분기의 존재를 엄밀히 증명하고, 복잡한 역학적 행동인 한계 순환과 동형선 고리가 포함된 고차원 두 종류의 보그단오프-타켄스 분기를 밝혀낸다. 연구 결과는 생태계에서 지속 가능한 수확 정책을 위한 수학적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We discuss the stability and bifurcation analysis for a predator-prey system with non-linear Michaelis-Menten prey harvesting. The existence and stability of possible equilibria are investigated. We provide rigorous mathematical proofs for the existence of Hopf and saddle node bifurcations. We prove that the system exhibits Bogdanov-Takens bifurcation of codimension two, calculating the normal form. We provide several numerical simulations to illustrate our theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 혼합형 할로잉 III 기능 반응과 비선형 마이칼리스-멘텐 피식자 수확을 포함한 포식자-피식자 시스템의 안정성 및 분기 구조를 조사하기.
• 계속 존재하는 진동적 공존 또는 인구 붕괴를 유도하는 허프 및 안장-노드 분기를 유도하는 조건을 규명하기.
• 고차원 두 종류의 보그단오프-타켄스 분기 존재를 증명하고, 그에 따른 전역 역학적 영향을 분석하기.
• 포식자와 피식자 인구의 공존을 보장하는 매개변수 영역을 규명함으로써 지속 가능한 수확 정책에 대한 수학적 기초를 제공하기.
• 한계 순환과 동형선 고리에 대한 이론적 예측을 수치 시뮬레이션과 매개변수 공간 분석을 통해 검증하기.

제안 방법

• 변수와 시간의 스케일링을 통해 원래 모델을 차원 없는 시스템 (3)으로 변환하여 분석을 단순화하면서도 역학적 특성을 유지한다.
• 미분부등식에 관한 레마 1을 적용하여 제1사분면에서 해의 양성 및 유계성을 확립한다.
• 시스템의 평형점 방정식을 대수적으로 분석하여 평형점(자명한 평형점과 내부 평형점)을 식별하고 분류한다.
• 자기행렬과 평형점에서의 고유값 평가를 통해 局부 안정성 분석을 수행한다.
• 허프 분기에서 발생하는 한계 순환의 안정성을 결정하기 위해 첫 번째 리아프노프 계수를 계산한다.
• 정규형 분석을 수행하여 특정 매개변수 점에서 고차원 두 종류의 보그단오프-타켄스 분기 존재를 엄밀히 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템이 어떤 조건에서 허프 분기를 겪고, 그로 인해 발생하는 한계 순환의 안정성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ2 어떤 매개변수 설정이 안장-노드 분기를 유도하며, 평형점의 생성 또는 소멸을 초래하는가?
• RQ3 시스템은 어떻게 고차원 두 종류의 보그단오프-타켄스 분기를 나타내며, 이 점 근처에서 어떤 복잡한 역학적 행동이 나타나는가?
• RQ4 마이칼리스-멘텐 수확은 포식자-피식자 공존의 안정성과 지속 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션은 한계 순환과 동형선 고리에 대한 이론적 예측을 어떻게 확인하는가?

주요 결과

• 시스템은 매개변수 δ의 임계값에서 허프 분기를 겪으며, 이로 인해 내부 평형점 주위에 안정적 또는 불안정한 한계 순환이 발생한다.
• 두 평형점이 충돌하고 상쇄될 때 안장-노드 분기가 발생하며, 이는 인구 지속 또는 멸종의 임계점임을 시사한다.
• 특정 매개변수 값(δ = δ^BT, h = h^BT)에서 평형점이 이중 영 고유값을 가지므로 고차원 두 종류의 보그단오프-타켄스 분기를 겪는다.
• 보그단오프-타켄스 점 근처에서 시스템은 동형선 고리와 다중 한계 순환을 포함한 풍부한 역학적 행동을 나타낸다.
• Maple를 사용한 수치 시뮬레이션은 이론적 예측을 확인하며, 한계 순환과 동형선 고리에 대한 분기 곡선(T, H, P)의 정확한 근사치를 보여준다.
• 분석 결과, 수확 매개변수 h와 c는 시스템의 안정성에 큰 영향을 미치며, 이들의 철저한 제어는 피식자 멸종을 방지하고 공존을 촉진할 수 있음을 밝혀낸다.