[논문 리뷰] Big Picard theorem and algebraic hyperbolicity for varieties admitting a variation of Hodge structures

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 61인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 복소 극화된 호지 구조의 복소수 변형(복소수-극화된 호지 변형, C-PVHS)을 갖는 quasi-projective 다양체에서, 주기 사상이 준유한 경우에 대해 대수적 쌍곡성과 일반화된 큰 피카르 정리를 확립한다. 또한 이러한 다양체에 대해 강한 쌍곡성도 증명하며, 헤르미트 대칭 공간의 결과를 확장하고 최근 Bakker-Brunebarbe-Tsimerman의 작업을 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we study three notions of hyperbolicity for varieties admitting complex polarized variation of Hodge structures ($\mathbb{C}$-PVHS for short). In the first part we prove that if a quasi-projective manifold $U$ admits a $\mathbb{C}$-PVHS whose period map is quasi-finite, then $U$ is algebraically hyperbolic in the sense of Demailly, and that the generalized big Picard theorem holds for $U$: any holomorphic map $f:\Delta-\{0\} o U$ from the punctured unit disk to $U$ extends to a holomorphic map of the unit disk $\Delta$ into any projective compactification of $U$. This result generalizes a recent work by Bakker-Brunebarbe-Tsimerman. In the second part of this paper, we prove the strong hyperbolicity for varieties admitting $\mathbb{C}$-PVHS, which is analogous to previous works by Nadel, Rousseau, Brunebarbe and Cadorel on hermitian symmetric spaces.

연구 동기 및 목표

• C-PVHS를 갖는 quasi-projective 다양체에서 주기 사상이 준유한 경우에 대해 대수적 쌍곡성을 확립한다.
• 이러한 다양체에 대해 일반화된 큰 피카르 정리를 증명하여, 구멍이 난 단위 원판에서의 정칙 함수가 전체 원판으로 확장됨을 보장한다.
• 이전에 헤르미트 대칭 공간에서 알려진 강한 쌍곡성 결과를 C-PVHS를 갖는 다양체로 확장한다.
• Bakker-Brunebarbe-Tsimerman의 최근 연구를 쌍곡성과 호지 구조의 변형 맥락에서 일반화한다.

제안 방법

• C-PVHS와 관련된 주기 사상을 이용하여 기저 다양체 U의 기하학을 분석한다.
• 주기 사상의 준유한성을 적용하여 Demailly의 의미에서 대수적 쌍곡성을 유도한다.
• 복소기하학의 해석적 기법을 사용하여, U로 향하는 구멍이 난 단위 원판에서의 정칙 함수가 전체 원판으로 해석적 확장됨을 보인다.
• 헤르미트 대칭 공간에서의 쌍곡성에 대한 Nadel, Rousseau, Brunebarbe, Cadorel의 방법을 C-PVHS의 맥락으로 응용한다.
• 호지 메트릭의 곡률 성질과 정칙 단면 곡률의 음성에 기반하여 강한 쌍곡성을 도출한다.
• 호지 구조의 변형 이론과 그 모노드로미 작용을 이용하여 정칙 곡선의 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 사상이 준유한 C-PVHS를 갖는 quasi-projective 다양체는 Demailly의 대수적 쌍곡성 개념을 만족하는가?
• RQ2 유한 모노드로미의 경우를 초월하여 일반화된 큰 피카르 정리를 C-PVHS를 갖는 다양체에 확장할 수 있는가?
• RQ3 헤르미트 대칭 공간의 쌍곡성은 C-PVHS를 갖는 다양체로 어느 정도 일반화될 수 있는가?
• RQ4 주기 사상의 준유한 성질이 구멍이 난 원판에서의 정칙 함수의 확장 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 어떤 조건이 C-PVHS에 의해 기저 다양체의 강한 쌍곡성을 보장하는가?

주요 결과

• 주기 사상이 준유한 C-PVHS를 갖는 임의의 quasi-projective 다양체 U는 Demailly의 의미에서 대수적 쌍곡성을 갖는다.
• 모든 정칙 함수 f: Δ−{0} → U는 U의 어떤 사영 컴acts이화에서도 전체 단위 원판 Δ로 해석적 확장된다.
• 이러한 다양체 U에 대해 일반화된 큰 피카르 정리가 성립하며, 이는 이전의 유한 모노드로미 경우의 결과를 확장한다.
• 다양체 U는 강한 쌍곡성을 만족한다. 즉, 임의의 복소다양체에서 U로의 모든 정칙 함수는 대수적으로 열악하다.
• 이 결과들은 이전의 Bakker-Brunebarbe-Tsimerman의 연구를 일반화하며, 헤르미트 대칭 공간에서의 쌍곡성 결과를 C-PVHS의 더 넓은 맥락으로 확장한다.