[논문 리뷰] Bilateral Boundary Control of Moving Shockwave in LWR Model of Congested Traffic

Huan Yu, Mamadou Diagne외 2명|ArXiv.org|2019. 04. 08.

Traffic control and management참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 PDE-ODE 연합 시스템에서 상태에 의존하는 입력 지연을 보완함으로써 LWR 교통 모델에서 이동하는 충격파를 안정화시키기 위해 예측 기반 백스테핑 경계 제어 법칙을 제안한다. 이 방법은 $H^1$ 노름에서 국소 지수 안정성을 달성하며, 양측 램프 미터링 제어를 통해 충격파 전면을 원하는 정적 위치로 이동시킨다.

ABSTRACT

We develop backstepping state feedback control to stabilize a moving shockwave in a freeway segment under bilateral boundary actuations of traffic flow. A moving shockwave, consisting of light traffic upstream of the shockwave and heavy traffic downstream, is usually caused by changes of local road situations. The density discontinuity travels upstream and drivers caught in the shockwave experience transitions from free to congested traffic. Boundary control design in this paper brings the moving shockwave front to a static setpoint position, hindering the upstream propagation of traffic congestion. The traffic dynamics are described with Lighthill-Whitham-Richard (LWR) model, leading to a system of two first-order hyperbolic partial differential equations (PDEs). Each represents the traffic density of a spatial domain segregated by the moving interface. By Rankine-Hugoniot condition, the interface position is driven by flux discontinuity and thus governed by a PDE state dependent ordinary differential equation (ODE). For the PDE-ODE coupled system. the control objective is to stabilize both the PDE states of traffic density and the ODE state of moving shock position to setpoint values. Using delay representation and backstepping method, we design predictor feedback controllers to cooperatively compensate state-dependent input delays to the ODE. From Lyapunov stability analysis, we show local stability of the closed-loop system in $H^1$ norm. The performance of controllers is demonstrated by numerical simulation.

연구 동기 및 목표

• 혼잡한 고속도로 교통에서 상류로 확산되는 혼잡을 막기 위해 이동하는 충격파를 안정화시키는 데 도전 과제를 해결한다.
• 밀도에 대한 Lighthill-Whitham-Richard (LWR) PDE와 충격파 위치에 대한 Rankine-Hugoniot ODE를 사용하여 교통 역학을 모델링한다.
• PDE 상태(교통 밀도)와 ODE 상태(충격파 위치)를 모두 목표값으로 조절하기 위해 이중 경계 피드백 제어를 설계한다.
• 이동 경계에서의 PDE 상태에 기인한 ODE에 발생하는 상태에 의존하는 입력 지연을 보완한다.
• 리아푸노프 분석을 사용하여 $H^1$ 노름에서 닫힌 루프 시스템의 국소 지수 안정성을 확립한다.

제안 방법

• 시스템을 PDE-ODE 연합 시스템으로 모델링한다: 상류 및 하류 교통 밀도에 대한 두 개의 쌍곡형 PDE와, 유량 불연속성에 의해 지배되는 충격파 위치에 대한 ODE.
• 기존 시스템을 지연 보완이 있는 목표 시스템으로 변환하기 위해 백스테핑 방법을 적용한다.
• PDE 상태에서 유도된 ODE 내 두 개의 상태에 의존하는 입력 지연을 다루기 위해 예측 피드백 설계를 사용한다.
• 지연 보완을 위한 비교 원리를 사용하여 $H^1$ 노름에서 국소 지수 안정성을 입증하기 위해 리아푸노프 함수를 도입한다.
• 초기 조건이 $V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$ 를 만족할 경우 변환의 역행성과 제어 설계의 타당성을 확보한다.
• 고속도로 구간의 양 끝에서 램프 미터링을 사용하여 이중 제어 입력을 구현함으로써 목표 교통 상태를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼잡한 고속도로에서 이동하는 충격파를 경계 제어를 통해 고정된 위치로 안정화시키는 방법은 무엇인가?
• RQ2 PDE-ODE 연합 시스템에서 교통 충격파 역학에 기인한 상태에 의존하는 입력 지연을 효과적으로 보완하는 제어 전략은 무엇인가?
• RQ3 예측 피드백를 갖춘 백스테핑 제어는 랭킨-후고니오 조건에 의해 지배되는 이동 불연속성을 가진 LWR 모델을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ4 닫힌 루프 시스템이 $H^1$ 노름에서 국소 지수 안정성을 확보하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 이중 경계 제어는 충격파 위치와 교통 밀도 프로파일의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 예측 기반 백스테핑 제어는 시뮬레이션에서 약 40초 내에 이동 충격파 전면을 원하는 정적 위치 $l^* = 200$ m로 안정화시킨다.
• 오픈 루프 시스템에서 충격파 위치는 상류로 확산되어 1분 내로 고속도로 구간 외부로 이탈하는 반면, 닫힌 루프 시스템은 충격파를 영역 내에 유지한다.
• 제어 입력은 약 40초 후에 0으로 수렴하여 시스템이 평형 상태로 안정화됨을 나타낸다.
• 수치 시뮬레이션은 상태 오차의 $H^1$ 노름이 지수적으로 감소함을 확인하여 국소 지수 안정성 결과를 검증한다.
• 리아푸노프 분석은 初기 조건이 $V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$ 를 만족할 경우 시스템이 안정된 상태를 유지함을 입증하며, $\delta_1 = \min\{(L-l^*)^2, (l^*)^2\}$ 이다.
• 이 연구는 교통 제어 맥락에서 비선형 ODE로 연결되는 다중 PDE 상태에 의존하는 입력 지연을 다루는 최초의 이론적 연구이다.