[논문 리뷰] Bilinear forms on exact operator spaces and B(H)\otimes B(H)

Marius Junge, Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|1993. 08. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정확한 연산자 공간 위에서 트레이스적으로 유계인 이항형식을 도입하고, 정확한 연산자 공간에서 다른 연산자 공간의 쌍대공간으로의 완전히 유계인 사상이 힐버트 공간을 통해 인수분해됨을 증명한다. 이를 통해 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하여, $ B(H) \otimes B(H) $가 하나 이상의 $ C^* $-노름을 가짐을 보이며, 이는 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $를 의미한다. 또한 $ n > 2 $일 때 $ n $차원 연산자 공간들의 $ c.b. $ 밴드-마자르 공간이 비분리임을 증명한다.

ABSTRACT

Let $E,F$ be exact operators (For example subspaces of the $C^*$-algebra $K(H)$ of all the compact operators on an infinite dimensional Hilbert space $H$). We study a class of bounded linear maps $u\colon E o F^*$ which we call tracially bounded. In particular, we prove that every completely bounded (in short $c.b.$) map $u\colon E o F^*$ factors boundedly through a Hilbert space. This is used to show that the set $OS_n$ of all $n$-dimensional operator spaces equipped with the $c.b.$ version of the Banach Mazur distance is not separable if $n>2$. As an application we show that there is more than one $C^*$-norm on $B(H)\otimes B(H)$, or equivalently that $$B(H)\otimes_{\min}B(H) ot=B(H)\otimes_{\max}B(H),$$ which answers a long standing open question. Finally we show that every ``maximal" operator space (in the sense of Paulsen) is not exact in the infinite dimensional case, and in the finite dimensional case, we give a lower bound for the ``exactness constant".

연구 동기 및 목표

• 정확한 연산자 공간에서 $ B(H) \otimes B(H) $가 하나 이상의 $ C^* $-노름을 가질 수 있는지 여부를 다루는 오랜 동안 미해결이었던 열린 문제를 해결한다.
• 정확한 연산자 공간 사이의 유계 선형 사상 $ u: E \to F^* $ 중 트레이스적으로 유계인 사상들을 특성화한다.
• 정확한 연산자 공간에서 쌍대 연산자 공간으로의 모든 완전히 유계 사상이 힐버트 공간을 통해 인수분해됨을 증명한다.
• 이 인수분해 결과를 활용하여, $ n $차원 연산자 공간들의 공간이 완전히 유계 밴드-마자르 거리에 대해 $ n > 2 $일 때 비분리임을 보인다.
• 무한차원에서 최대 연산자 공간(파울센의 의미에서)이 정확하지 않음을 증명하고, 유한차원에서의 정확성 상수에 하한을 제시한다.

제안 방법

• 연결된 이항형식이 트레이스 유사 유계 조건을 만족하는 사상 $ u: E \to F^* $를 트레이스적으로 유계인 사상으로 정의한다.
• 연산자 공간 이론과 완전히 유계 사상 이론을 활용하여, 이러한 트레이스적으로 유계인 사상들이 인수분해 정리에 의해 힐버트 공간을 통해 인수분해됨을 보인다.
• 인수분해 결과를 $ B(H) $에 의해 유도된 연산자 공간 구조를 가진 $ n \times n $ 행렬 공간에 적용하여, $ n > 2 $일 때 $ c.b. $ 밴드-마자르 거리 공간이 비분리임을 보인다.
• 최대 연산자 공간의 비정확성에 기반한 반례를 구성하여, $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $임을 입증한다.
• 쌍대성과 $ K(H) $, 즉 컴팩트 연산자들의 구조를 이용하여 정확한 연산자 공간을 $ B(H) $에 매립함으로써 텐서 노름 분석이 가능하도록 한다.
• 유한차원 최대 연산자 공간의 비정확성 분석을 통해, 그 정확성 상수에 하한을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ B(H) \otimes B(H) $가 하나 이상의 $ C^* $-노름을 가질 수 있는가, 이는 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $를 의미하는가?
• RQ2 정확한 연산자 공간에서 다른 연산자 공간의 쌍대공간으로의 모든 완전히 유계 사상이 힐버트 공간을 통해 인수분해될 수 있는가?
• RQ3 $ n > 2 $일 때, 완전히 유계 밴드-마자르 거리에 의한 $ n $차원 연산자 공간들의 공간은 분리 가능한가?
• RQ4 파울센의 의미에서 최대 연산자 공간은 무한차원에서 정확한가?
• RQ5 유한차원 최대 연산자 공간의 정확성 상수에 대해 가장 좋은 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $임을 증명하여 오랜 동안 미해결이었던 연산자 대수학 분야의 열린 문제를 해결한다.
• 정확한 연산자 공간 사이의 모든 완전히 유계 사상 $ u: E \to F^* $는 힐버트 공간을 통해 유계적으로 인수분해된다.
• $ n > 2 $일 때, 완전히 유계 밴드-마자르 거리에 대한 $ n $차원 연산자 공간의 공간 $ OS_n $는 비분리이다.
• 모든 무한차원 최대 연산자 공간(파울센의 의미에서)은 정확하지 않다.
• 유한차원 최대 연산자 공간의 정확성 상수는 양의 보편 상수보다 크게 하한이 제시되며, 정확한 값은 계산되지 않았다.