[논문 리뷰] Binary Linear Locally Repairable Codes

Pengfei Huang, Eitan Yaakobi외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 22.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유령형 패리티 체크 기호와 다중 수준 텐서 곱 구조를 사용하여 유연한 파rameter를 가진 이진 선형 국소 복구 코드(LRC)의 새로운 구성법을 제시한다. 체의 크기를 고려한 최소 거리에 대한 상한을 수립하고, 제안된 코드가 주어진 파rameter에 대해 최적 또는 근접 최적의 최소 거리를 달성함을 보이며, 기존의 순환 및 LDPC 코드와 같은 고전적 코드에서 국소성과 가용성도 분석한다.

ABSTRACT

Locally repairable codes (LRCs) are a class of codes designed for the local correction of erasures. They have received considerable attention in recent years due to their applications in distributed storage. Most existing results on LRCs do not explicitly take into consideration the field size $q$, i.e., the size of the code alphabet. In particular, for the binary case, only a few results are known. In this work, we present an upper bound on the minimum distance $d$ of linear LRCs with availability, based on the work of Cadambe and Mazumdar. The bound takes into account the code length $n$, dimension $k$, locality $r$, availability $t$, and field size $q$. Then, we study binary linear LRCs in three aspects. First, we focus on analyzing the locality of some classical codes, i.e., cyclic codes and Reed-Muller codes, and their modified versions, which are obtained by applying the operations of extend, shorten, expurgate, augment, and lengthen. Next, we construct LRCs using phantom parity-check symbols and multi-level tensor product structure, respectively. Compared to other previous constructions of binary LRCs with fixed locality or minimum distance, our construction is much more flexible in terms of code parameters, and gives various families of high-rate LRCs, some of which are shown to be optimal with respect to their minimum distance. Finally, availability of LRCs is studied. We investigate the locality and availability properties of several classes of one-step majority-logic decodable codes, including cyclic simplex codes, cyclic difference-set codes, and $4$-cycle free regular low-density parity-check (LDPC) codes. We also show the construction of a long LRC with availability from a short one-step majority-logic decodable code.

연구 동기 및 목표

• 기존 LRC 상한에서 이진 코드에 대해 체의 크기를 명시적으로 고려하지 않은 점을 보완하기 위해.
• 코드 길이, 차원, 최소 거리, 국소성 등 조정 가능한 파라미터를 가진 민감한 이진 LRC 구성법을 개발하기 위해.
• 순환, 리드-멀러, LDPC 코드와 같은 고전적 이진 코드에서 국소성과 가용성 분석을 위해.
• 단일 단계 다수결 논리 해독 가능 코드에서 시작하여 텐서 곱 구조를 활용해 장거리 LRC를 체계적으로 구성하기 위해.
• 국소성과 가용성을 고려한 이진 LRC에 대한 이론적 상한을 수립하여 이전 연구를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 체의 크기 q, 길이 n, 차원 k, 국소성 r, 가용성 t를 포함하여 카다브-마주드르의 프레임워크를 확장함으로써 이진 선형 LRC에 대한 최신 최소 거리 상한을 유도한다.
• 확장, 단순화, 정리, 증강, 연장 연산을 통해 순환, 리드-멀러, LDPC 코드 등의 고전적 이진 코드와 그 변형에서 국소성과 가용성을 분석한다.
• 원하는 파라미터를 가진 고율 이진 LRC를 달성하기 위해 '유령형' 패리티 체크 기호를 사용하는 구성법을 제안한다.
• 단일 단계 다수결 논리 해독 가능 코드의 패리티 체크 행렬을 빌딩 블록으로 사용하는 다중 수준 텐서 곱 구조를 도입하여 모든 기호 국소성과 가용성을 갖춘 장거리 LRC를 생성한다.
• r=3, t=4인 [15,7,5] 이진 BCH 코드의 패리티 체크 행렬 H′₁을 텐서 기반 구성에 활용하여 r=3, t=4인 새로운 [15ℓ, 7ℓ−2, 7] LRC를 생성한다.
• 최소 거리(du)와 가용성(tu)에 대한 이론적 한계를 평가하기 위해 식 (6)과 (9)를 적용하고, 구성된 코드 파라미터와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이진 선형 LRC의 최소 거리에 대한 가장 날카운 상한은 국소성 r과 가용성 t 외에 체의 크기 q까지 고려할 수 있는가?
• RQ2 국소성 r, 가용성 t, 길이 n, 차원 k, 최소 거리 d 등 다양한 파라미터를 조정 가능한 이진 LRC는 어떻게 구성할 수 있는가? 이때 고율과 최적 최소 거리를 달성할 수 있는가?
• RQ3 순환 심플렉스 코드, 차수 집합 코드, 4사이클 없는 LDPC 코드와 같은 고전적 이진 코드의 국소성과 가용성 특성은 무엇인가?
• RQ4 단일 단계 다수결 논리 해독 가능 코드에서 시작하여 텐서 곱 구조를 통해 고가용성 장거리 이진 LRC를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 기존의 최소 거리 상한에 비해 구성된 이진 LRC는 얼마나 최적에 가까운가?

주요 결과

• 국소성 r과 가용성 t를 고려한 이진 LRC에 대한 제안된 최소 거리 상한은 체의 크기 q를 명시적으로 포함함으로써 이전의 상한보다 향상된다.
• 최소 거리 d=3 또는 d=4인 구성된 이진 LRC는 최소 거리 상한에 대해 최적이 되는 것으로 증명된다.
• 텐서 곱을 통해 구성된 [15ℓ, 7ℓ−2, 7] LRC는 모든 기호 국소성 r=3과 가용성 t=4를 달성하며, 파rameter는 ℓ를 통해 확장 가능하다.
• 길이 2^m−1인 순환 이진 심플렉스 코드는 모든 기호 국소성 r=2와 가용성 t=2^{m−1}−1을 가지며, 플롯킨 상한에 의해 최적 최소 거리를 달성한다.
• 이중 차원 유형-I 순환 (0,m)차수 EG-LDPC 코드는 r=2^m−1과 t=2^m를 가지며, m=5일 때 n=1023, k=781, d=33, r=31, t=32를 가지며, du=80과 tu=32를 갖는다.
• 단일 단계 다수결 논리 해독 가능 코드에서 시작하여 다중 수준 텐서 곱을 활용한 장거리 LRC 구성은 확장 가능하고 고율이며, 보장된 국소성과 가용성을 갖춘 코드를 가능하게 한다.