[논문 리뷰] Binary, Shortened Projective Reed Muller Codes for Coded Private Information Retrieval

Myna Vajha, Vinayak Ramkumar외 1명|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|2017. 02. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\tau = 3,4$에 대해 최적의 시스템적 PIR 코드로서 이진화된 단순화된 프로젝티브 레이드-멀러(PRM) 코드를 제안하며, 동차 다항식 평가와 코드 단순화를 활용하여 최소 저장 오버헤드를 달성한다. 이 구성은 새로운 하한과 일치하는 최적의 블록 길이를 제공하며, $\tau = 3,4$에 대해 최적의 원시 다중세트 배치 코드를 가능하게 한다. 결과적으로 기존의 PIR 코드 구성에 비해 효율성과 저장 오버헤드 측면에서 향상된다.

ABSTRACT

The notion of a Private Information Retrieval (PIR) code was recently introduced by Fazeli, Vardy and Yaakobi who showed that this class of codes permit PIR at reduced levels of storage overhead in comparison with replicated-server PIR. In the present paper, the construction of an $(n,k)$ $τ$-server binary, linear PIR code having parameters $n = \sum\limits_{i = 0}^{\ell} {m \choose i}$, $k = {m \choose \ell}$ and $τ= 2^{\ell}$ is presented. These codes are obtained through homogeneous-polynomial evaluation and correspond to the binary, Projective Reed Muller (PRM) code. The construction can be extended to yield PIR codes for any $τ$ of the form $2^{\ell}$, $2^{\ell}-1$ and any value of $k$, through a combination of single-symbol puncturing and shortening of the PRM code. Each of these code constructions above, have smaller storage overhead in comparison with other PIR codes appearing in the literature. For the particular case of $τ=3,4$, we show that the codes constructed here are optimal, systematic PIR codes by providing an improved lower bound on the block length $n(k, τ)$ of a systematic PIR code. It follows from a result by Vardy and Yaakobi, that these codes also yield optimal, systematic primitive multi-set $(n, k, τ)_B$ batch codes for $τ=3,4$. The PIR code constructions presented here also yield upper bounds on the generalized Hamming weights of binary PRM codes.

연구 동기 및 목표

• 복제 서버 기반 PIR 시스템에서 최소 저장 오버헤드를 갖는 시스템적 PIR 코드를 설계하기 위해.
• 단일 기호 삭제 및 단순화를 통해 이진 프로젝티브 레이드-멀러(PRM) 코드를 이용해 $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$에 대한 PIR 코드를 구성하기 위해.
• 시스템적 PIR 코드에 대한 블록 길이 $n(k,\tau)$에 대한 새로운 하한을 수립하고, $\tau = 3,4$에 대해 최적성을 증명하기 위해.
• 구성된 PIR 코드가 $\tau = 3,4$에 대해 최적의 원시 다중세트 배치 코드를 제공함을 보여주기 위해.
• PIR 코드 구성에서 유도된 이진 PRM 코드의 일반화된 허밍 무게에 대한 상한을 도출하기 위해.

제안 방법

• PIR 코드는 이진 프로젝티브 레이드-멀러(PRM) 코드를 사용한 동차 다항식 평가를 통해 구성되며, 매개변수 $n = \sum_{i=0}^{\ell} \binom{m}{i}$, $k = \binom{m}{\ell}$, $\tau = 2^\ell$를 가진다.
• 임의의 $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$에 대해, 단일 기호 삭제 및 PRM 코드의 단순화를 통해 $k$와 $\tau$를 원하는 값으로 도달하기 위해 구성이 확장된다.
• 핵심 기술적 통찰은 패리티 체크 생성자의 성분별 곱을 사용하여 각 메시지 기호가 패리티 부분의 제곱의 스칼라 범위 안에 있음을 보여주며, 이는 블록 길이에 대한 하한을 이끌어낸다.
• 새로운 블록 길이 하한은 $n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$로 유도되며, 이는 $\tau = 3,4$에 대해 상한과 일치한다.
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 코드의 구성은 $\tau = 4$에 대해 최적의 $n(k,4)$를 달성하며, 그의 삭제된 형태는 $\tau = 3$에 대해 최적의 $n(k,3)$를 달성한다. 이는 $\tau = 3,4$에 대해 최적성을 증명한다.
• 증명은 시스템적 부분과 패리티 부분으로 구성된 서로소 복구 집합을 통해 메시지 기호가 복구될 수 있음을 보여주며, 이는 응답의 비밀성과 선형성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이진 PRM 코드를 체계적으로 단순화하고 삭제하여 $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$에 대해 저장 오버헤드를 감소시킨 PIR 코드를 얻을 수 있는가?
• RQ2 시스템적 PIR 코드에 대해 달성 가능한 최소 블록 길이 $n(k,\tau)$는 무엇이며, 이를 구성 가능한 코드로 달성할 수 있는가?
• RQ3 구성된 PIR 코드는 $\tau = 3,4$에 대해 최적인지이며, 이론적 블록 길이 하한을 달성하는가?
• RQ4 이러한 PIR 코드를 사용하여 $\tau = 3,4$에 대해 최적의 원시 다중세트 배치 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ5 PIR 구성에서 유도된 이진 PRM 코드의 일반화된 허밍 무게에 대해 어떤 상한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $\tau = 3,4$에 대해 구성된 PIR 코드는 최소 블록 길이 $n(k,\tau)$를 달성하며, 새로운 하한 $n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$와 일치하여 최적성을 증명한다.
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 코드 구성은 $\tau = 4$에 대해 최적의 시스템적 PIR 코드를 제공하며, 블록 길이 $n = k + m + 1$와 차원 $k = \binom{m}{2} - \gamma$를 가진다.
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 코드에서 한 개의 패리티 기호를 삭제하면 $\tau = 3$에 대해 최적의 PIR 코드가 되며, $n = k + m$가 된다.
• 이러한 최적의 PIR 코드는 [2]에서 밝힌 바와 같이 $\tau = 3,4$에 대해 최적의 원시 다중세트 배치 코드를 제공한다.
• 이 구성은 PIR 코드 내의 서로소 복구 집합의 구조에서 유도된 이진 PRM 코드의 일반화된 허밍 무게에 대한 상한을 제공한다.
• 제안된 코드의 블록 길이 $n_1$은 표 2에서 $k \leq 32$ 및 $\tau = 3,4,8,16$에 대해 [1]에서 알려진 최고의 코드보다 매칭되거나 이를 초월한다.