[논문 리뷰] Binary strings of length $n$ with $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros

Monimala Nej, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 길이 $ n $, 0의 개수가 $ x $이고 연속된 0의 최대 길이가 $ k $인 이진 문자열의 수인 $ F_n(x,k) $에 대한 재귀 관계를 유도하며, 피보나치, 카탈란, 삼각수와 같은 알려진 수열들이 $ F_n(x,k) $를 통해 표현될 수 있음을 보여준다. 또한 팰린드롬 이진 문자열로의 분석을 확장하여 $ n+1 $의 분할 중 최대 부분이 $ k+1 $인 것과 이러한 문자열 사이의 일대일 대응을 수립하고, 팰린드롬 분할을 세는 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we study $F_{n}(x,k)$, the number of binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and a longest subword of $k$ zeros. A recurrence relation for $F_{n}(x,k)$ is derived. We expressed few known numbers like Fibonacci, triangular, number of binary strings of length $n$ without $r$-runs of ones and number of compositions of $n+1$ with largest summand $k+1$ in terms of $F_{n}(x,k).$ Similar results and applications were obtained for F$_{n}(x,k),$ the number of all palindromic binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros.

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $, 0의 개수가 $ x $이고 연속된 0의 최대 길이가 $ k $인 이진 문자열의 수인 $ F_n(x,k) $에 대한 재귀 관계를 유도하는 것.
• 피보나치, 카탈란, 삼각수, 직사각수와 같은 잘 알려진 정수 수열들이 $ F_n(x,k) $를 통해 표현될 수 있도록 하는 것.
• 팰린드롬 이진 문자열로의 분석을 확장하고, $ x $개의 0과 최대 $ k $-연속 0 런을 가진 팰린드롬 문자열의 수인 $ \hat{F}_n(x,k) $를 정의하는 것.
• 최대 항이 $ k+1 $인 $ n+1 $의 분할과 $ B_n^{x,k} $ 사이의 일대일 대응을 수립하고, 팰린드롬 분할에 대한 공식을 유도하는 것.

제안 방법

• 주어진 $ n $과 $ k $에 대해 $ x $의 범위를 정하는 데 있어 floor 함수와 약수 조건을 포함한 $ F_n(x,k) > 0 $일 조건을 필요충분조건으로 유도한다.
• $ F_n(x,k) $에 대한 재귀 관계를 제안하여 특정한 0의 개수와 최대 0-런 길이를 가진 이진 문자열의 수를 체계적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 0이 $ k $개인 블록과 그 다음에 1이 오는 블록을 조합하여 유효한 문자열을 구성함으로써, $ (k+1) $-런이 발생하지 않도록 보장한다.
• 최대 항이 $ k+1 $인 $ n+1 $의 분할과 $ B_n^{x,k} $에 속하는 이진 문자열 사이의 전단사(일대일 대응)를 수립하여 문자열의 구조와 정수 분할 간의 연관성을 확립한다.
• $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $를 정의하여, 이는 $ \hat{F}_n(x,k) $에 대응하는 $ n+1 $의 팰린드롬 분할의 수이며, 다양한 짝수성 및 약수 조건 하에서 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $의 닫힌 형식을 도출한다.
• 생성함수 및 분할 이론 기법을 적용하여 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $의 공식을 유도하며, $ x $, $ k $, $ n $의 짝수성에 따라 경우를 나누어 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $, 0의 개수가 $ x $이고 연속된 0의 최대 길이가 $ k $인 이진 문자열의 수를 체계적으로 세는 방법은 무엇인가?
• RQ2 피보나치, 카탈란, 삼각수와 같은 고전적 정수 수열들은 $ F_n(x,k) $를 통해 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 $ F_n(x,k) > 0 $일 정확한 조건은 무엇이며, 이는 주어진 $ n $과 $ k $에 대해 가능한 $ x $의 값을 어떻게 제약하는가?
• RQ4 0의 개수가 $ x $이고 최대 $ k $-런을 가진 팰린드롬 이진 문자열의 구조는 정수 분할 및 분할에 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 최대 항이 $ k+1 $인 $ n+1 $의 팰린드롬 분할의 수에 대한 닫힌 형식 공식을 $ \hat{F}_n(x,k) $에 대응하여 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $ F_n(x,k) > 0 $이 되기 위한 조건은 $ k \nmid x $이면 $ x + \lfloor x/k \rfloor \leq n $, $ k \mid x $이면 $ x + \frac{x}{k} - 1 \leq n $임을 보이며, 이는 주어진 $ n $과 $ k $에 대해 $ x $의 정확한 범위를 제시한다.
• $ F_n(x,k) > 0 $일 수 있는 $ (x,k) $ 쌍의 수는 $ |S_n| = \binom{n+2}{2} - \sum_{i=0}^n \left\lfloor \frac{n}{i+1} \right\rfloor $로 주어지며, 이는 타당한 구성의 조합적 수를 제공한다.
• 최대 항이 $ k+1 $인 $ n+1 $의 분할의 수는 $ B_n^{x,k} $와 일대일 대응되며, 이 대응은 문자열의 블록 분해를 통해 명시적으로 구성된다.
• 팰린드롬 이진 문자열의 경우, $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $는 닫힌 형식으로 유도된다: $ x $가 홀수일 때 $ \hat{P}_{2n+2}(x,k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor - 1} P_{n-i}\left(\frac{x-2i-1}{2}, k\right) + \sum_{j=0}^k P_{\frac{2n-k+1}{2}}\left(\frac{x-k}{2}, j\right) $이며, $ x $가 짝수일 경우 유사한 공식이 적용된다.
• 특수 케이스에서는 정확한 수를 도출할 수 있다: 예를 들어 $ \hat{P}_{n+1}(x,x) = \hat{P}_{n+1}(x,1) = 1 $이며, $ \hat{P}_{2n+2}(x,2) $는 $ i < \lfloor x/4 \rfloor - 1 $이면 $ i+1 $, 그렇지 않으면 $ \lfloor x/4 \rfloor $로 주어지며, 이는 $ 00 $-블록의 수에 따라 달라진다.
• $ k \mid x $이고 $ n = x + \frac{x}{k} - 1 $일 경우 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) = 1 $이 되며, 이는 이러한 경우에 유일한 팰린드롬 분할이 존재함을 의미한다.