[논문 리뷰] Binary words avoiding a pattern and marked succession rule

Stefano Bilotta, Donatella Merlini외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 29.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $1^{j+1}0^j$ 패턴을 피하는 이진 단어를 연구하며, Riordan 행렬을 사용하여 한의 수에 따라 이러한 단어를 대수적으로 수여한다. 이는 성장 구조를 기술하기 위해 새로운 '점프 및 마킹된 성장 규칙'을 도입하고, 규칙의 비가역성 문제를 해결하기 위해 고정된 수의 1을 가진 모든 이진 단어를 생성하고 금지된 패턴을 제거하는 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

In this paper we study the enumeration and the construction of particular binary words avoiding the pattern $1^{j+1}0^j$. By means of the theory of Riordan arrays, we solve the enumeration problem and we give a particular succession rule, called jumping and marked succession rule, which describes the growth of such words according to their number of ones. Moreover, the problem of associating a word to a path in the generating tree obtained by the succession rule is solved by introducing an algorithm which constructs all binary words and then kills those containing the forbidden pattern.

연구 동기 및 목표

• 1^{j+1}0^j$ 패턴을 피하는 이진 단어를 1의 수에 따라 수여하는 것.
• 생성 트리의 각 수준에서 이러한 단어의 성장을 모델링하는 성장 규칙을 사용한 조합론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 생성 트리에서 경로의 유일한 대응이 불가능한 문제를 해결하기 위해 구축 알고리즘을 도입하는 것.
• 금지된 패턴의 형태가 $1^j0^i$ 이고 $0 < i < j$ 인 경우로의 일반화를 시도하고, 다중 패턴 및 다중 알파벳 경우를 탐색하는 것.

제안 방법

• 1^{j+1}0^j$ 를 피하는 이진 단어의 수여 문제를 해결하기 위해 적절한 Riordan 행렬 기반의 대수 기법을 사용하는 것.
• 자식 단어가 서로 다른 수준에서 생성되고 레이블이 마킹되거나 마킹되지 않을 수 있도록 允허하는 '점프 및 마킹된 성장 규칙'을 도입하는 것.
• Riordan 행렬의 각 행이 생성 트리의 한 수준에 대응되며, 레이블이 단어에 포함된 1의 수를 나타내도록 생성 트리를 구성하는 것.
• 고정된 수의 1을 가진 모든 이진 단어를 생성하고, 금지된 패턴 $1^{j+1}0^j$ 를 포함하는 단어를 제거하는 알고리즘을 설계하는 것.
• 금지된 패턴을 모델링하기 위해 Dyck 유사 경로의 경로 표현을 사용하고, 자르고 붙이는 연산을 적용하여 '살리기 경로'를 정의하는 것.
• 성장 규칙의 생산 규칙을 적용하여 알고리즘적 걸러내기 과정을 통해 각 단어가 생성 트리의 유일한 경로에 정확히 하나씩 대응되도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 방법을 사용하여 1의 수에 따라 $1^{j+1}0^j$ 패턴을 피하는 이진 단어를 어떻게 수여할 수 있는가?
• RQ2 다양한 수준에서 성장하고 마킹된 레이블을 가진 성장 규칙을 정의할 수 있는가?
• RQ3 왜 성장 규칙에서 유도된 생성 트리의 경로에 단어를 유일하게 대응시킬 수 없는가?
• RQ4 어떤 알고리즘적 접근이 고정된 수의 1을 가진 모든 유효한 이진 단어를 생성하면서도 금지된 패턴을 포함하는 단어를 제거하는가?
• RQ5 이러한 프레임워크를 $1^j0^i$ 형태의 다른 금지된 패턴, 특히 $0 < i < j$ 인 경우로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 1^{j+1}0^j$ 를 피하는 이진 단어의 수는 적절한 Riordan 행렬을 사용하여 대수적으로 수여되며, 이는 행렬의 원소와 1의 수에 따른 해당 단어의 수 사이에 직접적인 연결 고리를 설정한다.
• 다른 생성 트리 수준에서의 단어 성장을 기술하는 점프 및 마킹된 성장 규칙이 구성되었으며, 마킹된 레이블은 구조적 모호성을 반영한다.
• 성장 규칙은 레이블의 수준 간 사상이 유일하지 않기 때문에, 생성 트리의 경로에 단어를 유일하게 대응시킬 수 없다.
• 고정된 수의 1을 가진 모든 이진 단어를 생성하고 금지된 패턴 $1^{j+1}0^j$ 를 포함하는 단어를 걸러내는 알고리즘이 제안되었으며, 이는 경로 대응 문제를 해결한다.
• 집합에 속하지 않는 단어 $\omega$ 에 대해, 같은 수의 상승 단계와 금지된 패턴을 가지며, 마지막 금지된 패턴의 마킹 여부를 제외하고는 동일한 단어 $\omega'$ 가 유일하게 존재한다.
• 살리기 절차는 경로 구조와 규칙 생산 규칙에 의해 유일하게 결정되며, 이는 부적합한 단어와 그 마킹된 대응어 사이에 일대일 대응을 보장한다.