[논문 리뷰] Binary words avoiding xx^Rx and strongly unimodal sequences

James D. Currie, Narad Rampersad|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 12.

semigroups and automata theory참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이진 단어가 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 경우의 수가 다항식적 또는 지수적 성장 중간 정도로 증가함을 증명한다. 이는 이러한 단어와 강력한 단조증가 수열과 밀접히 관련된 정수 수열의 집합 사이의 전단사 사상에 기반한다. 주요 기여는 생성함수와 점근적 분석을 통해 성장률을 정밀하게 특성화한 것으로, 명시적인 상한과 하한 및 분할 이론과의 연결 고리를 제시한다.

ABSTRACT

In previous work, Currie and Rampersad showed that the growth of the number of binary words avoiding the pattern xxx^R was intermediate between polynomial and exponential. We now show that the same holds for the growth of the number of binary words avoiding the pattern xx^Rx. Curiously, the analysis for xx^Rx is much simpler than that for xxx^R. We derive our results by giving a bijection between the set of binary words avoiding xx^Rx and a class of sequences closely related to the class of "strongly unimodal sequences."

연구 동기 및 목표

• 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어의 성장률을 특성화하는 것. 여기서 $x^R$ 은 $x$ 의 역순을 의미한다.
• 이러한 단어와 강력한 단조증가 수열과 관련된 정수 수열의 집합 간의 직접적인 연결 고리를 확립하는 것.
• 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어 언어에 대한 완전한 조합적 특성화를 제공하는 것.
• 오그던의 보조정리에 기반한 직접 증명을 통해 이 언어가 문맥 자유 문법이 아님을 보이는 것.
• 이 언어의 성장률을 이전에 연구된 패턴 $xxx^R$ 을 피하는 언어의 성장률과 비교하는 것.

제안 방법

• 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어를 세그먼트 $A_i$, $a_i$, $a_i A_i a_{i+1}$ 로 분해하고, 길이를 인코딩하는 수열 $f(w) = (n_0, \dots, n_k)$ 를 정의한다.
• 유형 1(엄격히 단조증가)과 유형 2(평탄한 부분이 있는) 정수 수열의 집합 $X$ 를 정의하며, 이는 $n_{j-1} \geq n_j$ 이면서 $n_j \leq n_{j+1}$ 인 인덱스가 존재하지 않는 조건을 만족한다.
• 길이 $n$ 인 $L_0$ (0으로 시작하는 단어) 의 단어와 무게 $n$ 인 $X$ 의 수열 사이의 일대일 대응을 맵핑 $f$ 를 통해 수립한다.
• 생성함수를 사용: $X$ 의 수열에 대한 생성함수는 $\prod_{j=1}^\infty (1 + q^j)^2$ 와 관련되며, 이는 서로 다른 부분의 합으로 분할되는 경우를 세는 데 사용된다.
• 생성함수에서의 중복 계산을 수정하기 위해 유형 1 수열(이중으로 세어진)과 유형 2 수열(반으로 부족하게 세어진)을 조정하여 $v(n)$ 에 대한 상한과 하한을 도출한다.
• 오그던의 보조정리를 적용하여 $L$ 이 문맥 자유 언어가 아님을 보이며, $a^i b^j c^k d^\ell$ 에서 특정 부등식을 만족하는 비문맥 자유 언어로 축소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어의 수의 성장률은 무엇인가?
• RQ2 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어와 정수 수열의 집합 사이에 전단사 사상이 존재하는가?
• RQ3 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 단어의 성장률은 패턴 $xxx^R$ 을 피하는 단어의 성장률과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어의 언어는 문맥 자유 언어인가?
• RQ5 길이 $n$ 의 함수로써 이러한 단어의 수의 점근적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 길이 $n$ 인 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어의 수 $c(n)$ 은 $\tilde{u}(n) \leq c(n) \leq 2\tilde{u}(n)$ 을 만족한다. 여기서 $\tilde{u}(n)$ 은 집합 $X$ 에 속한 무게 $n$ 인 정수 수열의 수이다.
• 점근적 성장률 $\tilde{u}(n)$ 은 $\tilde{u}(n) = \frac{\sqrt{3}}{(24n-1)^{3/4}} \exp\left(\frac{\pi}{6}\sqrt{24n-1}\right)\left(1 + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)$ 로 주어지며, 이는 중간 성장임을 확인한다.
• 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 이진 단어의 언어 $L$ 은 문맥 자유 언어가 아니며, 오그던의 보조정리를 사용한 직접 증명을 통해 $a^i b^j c^k d^\ell$ 에서 특정 부등식을 만족하는 비문맥 자유 언어로 축소된 후 증명된다.
• 패턴 $xx^R x$ 를 피하는 단어의 수는 패턴 $xxx^R$ 을 피하는 단어의 수보다 훨씬 빠르게 증가한다. 이전에 $xxx^R$ 을 피하는 단어의 성장률은 $e^{\log^2 n}$ 으로 추정되었다.
• 수열 $c(n)$ 은 온라인 정수 수열 온라인 사전(OEIS)의 수열 A261204이며, $\tilde{u}(n)$ 은 수열 A022567이다. $n$ 이 0에서 12까지의 명시적 값이 제공된다.
• 수열 $X$ 와 $L_0$ 사이의 전단사 사상은 $f(w) \notin X$ 이면 $w$ 가 $xx^R x$ 의 인스턴스를 포함함을 보여주는 케이스 분석을 통해 증명된다.