[논문 리뷰] Binomial Thue equations and power integral bases in pure quartic fields

István Gaál, László Remete|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 순수 4차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$에서의 멱적분기 기저의 존재성과 계산을 해결하며, 색인 형식 방정식을 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 형태의 4차 이항 푸아소프 방정식으로 환원함으로써 이를 달성한다. 고급 수론과 고성능 계산을 활용하여, $m < -1$인 경우, 동치를 제외하고는 $\alpha = \sqrt[4]{m}$만이 멱적분기 기저를 생성하며, $m > 1$이고 $m < 10^7$인 경우, 계수가 $10^{1000}$ 이하인 모든 생성자를 계산하여 특정 가족에서는 해가 완전히 특성화되어 있음을 밝혀냈다.

ABSTRACT

It is a classical problem in algebraic number theory to decide if a number field admits power integral bases and further to calculate all generators of power integral bases. This problem is especially delicate to consider in an infinite parametric family of number fields. In the present paper we investigate power integral bases in the infinite parametric family of pure quartic fields $K=Q(\sqrt[4]{m})$. We often pointed out close connection of various types of Thue equations with calculating power integral bases. In this paper we determine power integral bases in pure quartic fields by reducing the corresponding index form equation to quartic binomial Thue equations. We apply recent results on the solutions of binomial Thue equations of type $a^4-mb^4=\pm 1\; ({ m in}\; a,b\in Z)$ as well as we perform an extensive calculation by a high performance computer to determine "small" solutions (with $\max(|a|,|b|)&lt;10^{500}$) of binomial Thue equations for $m&lt;10^7$. Using these results on binomial Thue equations we characterize power integral bases in infinite subfamilies of pure quartic fields. For $1&lt; m&lt; 10^7$ we give all generators of power integral bases with coefficients $&lt;10^{1000}$ in the integral basis.

연구 동기 및 목표

• 순수 4차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$가 멱적분기 기저를 갖는지 여부를 결정하는 것, 이는 대수적 수론의 고전 문제이다.
• 무한한 매개변수 가중 순수 4차 수체의 멱적분기 기저의 모든 생성자를 계산하는 것.
• 멱적분기 기저의 색인 형식 방정식을 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 형태의 4차 이항 푸아소프 방정식으로 환원하는 것.
• 최근의 푸아소프 방정식 결과와 고성능 계산을 활용하여 $m < 10^7$ 및 $\max(|a|,|b|) < 10^{500}$인 경우 이러한 방정식을 해결하는 것.
• 멱적분기 기저가 완전히 결정되는 순수 4차 수체의 무한한 부분가족을 특성화하는 것.

제안 방법

• 문제는 색인 형식 방정식으로 환원되며, $x = a^2$, $z = b^2$, $y = \pm ab$의 치환을 통해 이항 푸아소프 방정식 $a^4 - m b^4 = \pm 1$로 변환된다.
• 저자는 $a^4 - m b^4 = \pm 1$의 가역성에 관한 기존 결과를 활용하여, 예를 들어 $m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$와 같은 특정 $m$ 가족의 해를 특성화한다.
• 헝가리 전역의 슈퍼컴퓨터 네트워크를 활용하여 광범위한 계산적 탐색을 수행하였으며, Maple에서 1200자리 정밀도를 사용한 페티호의 방법을 구현하였다.
• 모든 $m < 10^7$에 대해 $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$인 경우를 대상으로 해를 계산하였으며, 거의 $10^7$개의 방정식을 다루었다.
• 계산은 몇 개의 노드로 병렬화되어 단일 노드에서의 총 실행 시간 120시간을 몇 시간으로 단축시켰다.
• 해를 이용하여 동치를 제외한 모든 생성자 $\vartheta = x\alpha + y\alpha^2 + z\alpha^3$의 멱적분기 기저를 재구성하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $m$ 값에 대해 순수 4차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$가 멱적분기 기저를 갖는가?
• RQ2 순수 4차 수체에서 색인 형식 방정식은 어떻게 해결 가능한 형태, 특히 이항 푸아소프 방정식으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 $m < 10^7$이고 계수가 $10^{1000}$ 이하인 순수 4차 수체에서 멱적분기 기저의 완전한 생성자 집합은 무엇인가?
• RQ4 푸아소프 방정식 $a^4 - m b^4 = \pm 1$의 해 집합이 완전하고 명시적으로 특성화되는 무한한 $m$ 가족이 존재하는가?
• RQ5 매우 큰 범위, 예를 들어 $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$인 경우 이러한 푸아소프 방정식을 해결하는 데의 계산 가능성은 어떠한가?

주요 결과

• $m < -1$이고 $m$가 제곱 자유이며 $m \equiv 2,3 \pmod{4}$인 경우, 동치를 제외하고는 멱적분기 기저의 유일한 생성자는 $\alpha = \sqrt[4]{m}$이다.
• $m > 1$이고 최대 두 개의 소수 $\leq 29$로 구성된 경우, 유일한 생성자는 $\vartheta = \alpha$이며, $m = 15$일 경우 $\vartheta = 4\alpha \pm 2\alpha^2 + \alpha^3$이고, $m = 39$일 경우 $\vartheta = 25\alpha \pm 10\alpha^2 + 4\alpha^3$이다.
• $m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$이면서 $s,t \in \mathbb{Z}^+$인 경우, 유일한 생성자는 $\vartheta = \alpha$와 $\vartheta = (s^4 t \pm 1)^2 \alpha \pm (s^4 t \pm 1)s \alpha^2 + s^2 \alpha^3$이다.
• $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$인 $a^4 - m b^4 = \pm 1$의 해를 위한 철저한 탐색을 $m < 10^7$인 범위에서 수행하였으며, 거의 $10^7$개의 방정식에 대해 10,000개 이상의 해를 도출하였다.
• 계산은 고성능 슈퍼컴퓨터 네트워크에서 수행되었으며, 단일 노드에서의 총 실행 시간은 약 120시간이었고, 병렬화를 통해 몇 시간으로 단축되었다.
• $1 < m < 10^7$ 범위에서 계수가 $10^{1000}$ 이하인 모든 멱적분기 기저 생성자를 푸아소프 방정식의 해 집합을 이용하여 완전히 결정하였다.