[논문 리뷰] Bipartite Matching in Nearly-linear Time on Moderately Dense Graphs

Jan van den Brand, Yin-Tat Lee외 6명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 71인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 중간 정도로 조밀한 그래프에서 최대 카디널리티 이분 매칭을 $Õ(m + n^{1.5})$ 시간에 해결하는 랜덤화된 알고리즘을 제시한다. 이는 고전적인 $O(m\sqrt{n})$ 및 $\widetilde{O}(n^\omega)$ bound에 비해 처음으로 거의 선형 시간 성능을 달성한 것이다. 이 방법은 새로운 원천-쌍대 내점법과 동적 확산자 분해 및 고에너지 간선에 대한 샘플링 기법을 결합하여 수렴 속도를 높이고 반복 계산을 효율적으로 유지한다.

ABSTRACT

We present an $ ilde O(m+n^{1.5})$-time randomized algorithm for maximum cardinality bipartite matching and related problems (e.g. transshipment, negative-weight shortest paths, and optimal transport) on $m$-edge, $n$-node graphs. For maximum cardinality bipartite matching on moderately dense graphs, i.e. $m = Ω(n^{1.5})$, our algorithm runs in time nearly linear in the input size and constitutes the first improvement over the classic $O(m\sqrt{n})$-time [Dinic 1970; Hopcroft-Karp 1971; Karzanov 1973] and $ ilde O(n^ω)$-time algorithms [Ibarra-Moran 1981; Mucha-Sankowski 2004] (where currently $ω\approx 2.373$). On sparser graphs, i.e. when $m = n^{9/8 + δ}$ for any constant $δ>0$, our result improves upon the recent advances of [Madry 2013] and [Liu-Sidford 2020b, 2020a] which achieve an $ ilde O(m^{4/3+o(1)})$ runtime. We obtain these results by combining and advancing recent lines of research in interior point methods (IPMs) and dynamic graph algorithms. First, we simplify and improve the IPM of [v.d.Brand-Lee-Sidford-Song 2020], providing a general primal-dual IPM framework and new sampling-based techniques for handling infeasibility induced by approximate linear system solvers. Second, we provide a simple sublinear-time algorithm for detecting and sampling high-energy edges in electric flows on expanders and show that when combined with recent advances in dynamic expander decompositions, this yields efficient data structures for maintaining the iterates of both [v.d.Brand et al.] and our new IPMs. Combining this general machinery yields a simpler $ ilde O(n \sqrt{m})$ time algorithm for matching based on the logarithmic barrier function, and our state-of-the-art $ ilde O(m+n^{1.5})$ time algorithm for matching based on the [Lee-Sidford 2014] barrier (as regularized in [v.d.Brand et al.]).

연구 동기 및 목표

• 최대 카디널리티 이분 매칭 문제에 대해 오랜 기간 동안 지속된 $O(m\sqrt{n})$ 및 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 시간 장벽을 극복하기 위해.
• 모든 $m = \Omega(n^{1.5})$ 조건을 만족하는 중간 정도로 조밀한 그래프에서 더 빠른 알고리즘을 개발하여 거의 선형 시간 복잡도를 달성하기 위해.
• 조합 최적화 분야에서 최근의 내점법과 동적 그래프 알고리즘의 진전을 통합하고 발전시키기 위해.
• 이 알고리즘을 전송 문제, 음수 가중치를 가진 최단 경로, 최적 운반 문제와 같은 관련 문제로 확장하기 위해.
• 근사 선형 해법기반의 비가역성 문제를 견고하게 다룰 수 있는 일반적인 프라이멀-쌍대 내점법 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 근사 선형 시스템 해법기로 인한 비가역성 문제를 다루기 위한 새로운 샘플링 기반 기법을 포함한 일반적인 프라이멀-쌍대 내점법(IPM) 프레임워크를 도입한다.
• 확산자 그래프에서 전기 흐름의 고에너지 간선을 탐지하고 샘플링하기 위한 부분선형 시간 알고리즘을 설계한다.
• 최근의 동적 확산자 분해 기술을 통합하여 IPM 반복 계산을 위한 효율적인 데이터 구조를 유지한다.
• 새로운 IPM 프레임워크를 로그 기반 장벽과 Lee-Sidford 장벽에 각각 적용하여, 각각 $\widetilde{O}(n\sqrt{m})$ 및 $\widetilde{O}(m + n^{1.5})$ 실행 시간을 달성한다.
• 수치적 안정성과 IPM 반복 계산의 효율성을 확보하기 위해 리지드 스코어 유지 및 탈기계적 업데이트 기법을 사용한다.
• 매칭 문제에서 전송 문제, 최단 경로 문제, 최적 운반 문제로의 감소를 활용하여 알고리즘의 적용 범위를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중간 정도로 조밀한 그래프에서 $m = \Omega(n^{1.5})$ 조건을 만족할 때, 최대 카디널리티 이분 매칭 문제에 대해 거의 선형 시간 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ2 그래프 최적화 맥락에서 비정확한 선형 시스템 해법기를 사용할 경우, 내점법이 어떻게 강건하고 효율적으로 유지될 수 있는가?
• RQ3 동적 확산자 분해와 전기 흐름 샘플링을 효과적으로 조합하여 IPM 반복 계산을 효율적으로 유지할 수 있는가?
• RQ4 전송 문제 및 음수 가중치 최단 경로 문제와 같은 관련 문제를 해결할 때, 동일한 핵심 알고리즘의 최소 실행 시간 오버헤드는 얼마인가?
• RQ5 이 프레임워크는 정수 및 분수 최적화 문제를 모두 다룰 수 있도록 일반화될 수 있으며, 애드디티브 근사 보장 조건을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 중간 정도로 조밀한 그래프에서 최대 카디널리티 이분 매칭 문제에 대해 $\widetilde{O}(m + n^{1.5})$-시간 알고리즘을 달성하여, 수십 년간 지속된 $O(m\sqrt{n})$ 및 $\widetilde{O}(n^\omega)$ bound에 대한 첫 번째 개선을 이룬다.
• $m = n^{9/8 + \delta}$ 조건을 만족하는 그래프의 경우, 최근의 Madry 및 Liu-Sidford 연구에서 제시한 $\widetilde{O}(m^{4/3+o(1)})$ 실행 시간보다도 성능이 뛰어나다.
• 정확한 해를 위한 최소비용 완전 $b$-매칭, 전송 문제, 음수 가중치 최단 경로 문제, 최소 평균 사이클 문제에 대해 $\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2 W)$ 시간 내에 해결할 수 있다.
• 애드디티브 오차 $\epsilon$를 허용하는 분수 문제의 경우, 알고리즘이 $\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2(W/\epsilon))$ 시간 내에 실행되어 최적 운반 문제 및 관련 문제에 대한 효율적인 근사해를 제공한다.
• 근사 해법기로 인한 비가역성 문제를 다룰 수 있는 새로운 샘플링 기법을 포함한 일반적인 프라이멀-쌍대 IPM 프레임워크를 제공하여, 더 빠른 수렴과 강건성을 달성한다.
• 로그 기반 장벽를 사용하여 매칭 문제에 대해 $\widetilde{O}(n\sqrt{m})$-시간 솔루션을 단순화하여, 새로운 IPM 기계의 유연성을 입증한다.