[논문 리뷰] Biquaternions algebra and its applications by solving of some theoretical physics equations

L. A. Alexeyeva|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 03.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이론물리학에서 고차수 쌍곡형 시스템을 해결하기 위해 민코프스키 공간 위에서 이중쿼aternion의 미분대수를 개발한다. 이를 통해 맥스웰 방정식과 디рак 방정식을 단일 이중쿼aternion적 이그레이디언트 형태로 통합한다. 푸리에 변환을 이용하여 이파면 방정식의 기본해와 일반해를 유도하고 충격파 조건을 특성화하며, 로렌츠 및 파oincaré 군에 대한 상대론적 불변성을 구축하여 새로운 스칼라 방정식(KGFSh)과 명시적인 조화해 및 정적해를 갖는 스핀어 필드를 도출한다.

ABSTRACT

The functional space of biquaternions is considered on Minkovskiy space. The scalar-vector biquaternions representation is used which was offered by W. Hamilton for quaternions. With introduction of differential operator - a mutual complex gradient (bigradients), which generalize the notion of a gradient on biquaternions space, biquaternionic wave (biwave) equations are considered, their invariance for group of the Lorentz-Puancare transformations is shown and their generalized solutions are obtained. Biquaternionic form of generalized Maxwell-Dirac equation is constructed and its solutions are researched on base of the differential biquaternions algebra. Its generalized decisions are built with use of scalar potential. The new equation for these potential are constructed which unites known equations of quantum mechanics (Klein-Gordon and Schrodinger Eq.). The nonstationary, steady-state and harmonic on time scalar fields and generated by them the spinors and spinors fields in biquaternionic form are constructed.

연구 동기 및 목표

• 이론물리학에서 고차수 쌍곡형 시스템을 해결하기 위해 민코프스키 공간 위에서 이중쿼aternion의 미분대수를 개발하는 것.
• 맥스웰 방정식과 디рак 방정식을 단일 이중쿼aternion적 이그레이디언트 방정식 형태로 통합하는 것.
• 푸리에 변환을 이용하여 이파면 방정식의 일반해와 기본해를 유도하는 것.
• 파면에서의 충격파 형성 조건을 분석하고 전파 조건을 유도하는 것.
• 로렌츠 및 파oincaré 변환에 대한 상대론적 불변성을 구축하고 새로운 스칼라 필드 방정식(KGFSh)을 도출하는 것.

제안 방법

• 복소 스칼라 및 벡터 부분을 갖는 형식적 이중쿼aternion 대수를 정의하고, 퀼레르의 곱과 비가환 연산을 통해 곱셈을 정의한다.
• 이중쿼aternion 스칼라-벡터 필드에 대한 기하학적 일반화로서 이그레이디언트 연산자를 도입한다.
• 이파면 방정식에 푸리에 변환을 적용하여 기본해와 일반해를 도출한다.
• 일반화된 함수 이론과 이그레이디언트 연산자의 초월성 성질을 이용하여 해의 구성 과정을 단순화한다.
• 직교, 로렌츠, 파oincaré 변환에 대한 이파면 방정식의 상대론적 불변성을 유도한다.
• KGFSh-방정식의 해로부터 도출된 기본 조화 스핀어를 C-필드와의 콘볼루션을 통해 스핀어 필드를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 민코프스키 공간에서 이중쿼aternion 대수를 어떻게 확장하여 이론물리학에서의 복소 스칼라-벡터 필드를 기술할 수 있는가?
• RQ2 이파면 방정식과 맥스웰-디рак 방정식은 단일 이중쿼aternion적 이그레이디언트 방정식 형태로 통합될 수 있는가?
• RQ3 이파면 방정식의 일반해와 기본해는 무엇이며, 푸리에 변환을 통해 어떻게 도출되는가?
• RQ4 이중쿼aternion 필드 모델에서 충격파 형성과 전파 조건은 무엇인가?
• RQ5 KGFSh-방정식의 해는 상대론적 불변성과 스핀어 필드 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 이파면 방정식은 푸리에 변환을 통해 도출된 기본해와 일반해를 갖으며, 특이한 소스의 처리를 가능하게 한다.
• 충격파 전면은 이중쿼aternion적 이그레이디언트 체계로부터 도출된 특정한 점프 조건을 만족한다.
• 이파면 방정식은 로렌츠 및 파oincaré 변환에 대해 불변이며, 필드 전파에 대한 상대론적 공식을 도출한다.
• 클라인-고든, 포크, 슈뢰딩거 연산자를 통합한 새로운 스칼라 방정식인 KGFSh-방정식이 유도되었으며, 일반해가 정의되어 있다.
• 기본 조화 스핀어는 ${\bf Sp}_{\xi}^{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( i + \frac{\xi}{\|\xi\|} \right) \exp\left( i((\xi,x) - \rho\tau \pm \|\xi\|\tau) \right) $ 형태로 명시적으로 구성되었으며, 단위 노름과 영 허수노름을 갖는다.
• C-필드 및 G-필드 스핀어 필드는 조화 스핀어와의 콘볼루션을 통해 구성되었으며, 에너지-운동량 텐서 $ {\bf \Xi} = 1 - i \frac{\xi}{\|\xi\|} $ 를 갖는 해를 도출하였고, $ \|{\bf \Xi}\| = 2 $, $ \langle\!\langle{\bf \Xi}\rangle\!\rangle = 0 $ 를 만족한다.