[논문 리뷰] Birth and death process with one-side bounded jumps in random environment

Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이웃한 상태로만 점프가 가능한 랜덤 환경 속에서의 출생·사멸 확률과정을 연구한다. 전이율은 i.i.d. 랜덤 매개변수에 의존한다. 다형성 랜덤 환경에서의 분포수 과정을 활용해 첫 도달 시간을 분해함으로써, 고정된 조건 하에서의 첫 도달 시간 기댓값에 대한 명시적 공식을 유도하고, 명시적인 점근적 속도를 가진 대수법칙을 확립하여, 일반적인 유한 점프 동역학을 갖는 랜덤 환경 속에서의 과정의 장기적 행동을 처음으로 엄밀하게 기술한다.

ABSTRACT

Let $ω=(ω_i)_{i\in\mathbb Z}=(μ^{L}_i,...,μ^{1}_i,λ_i)_{i\in \mathbb Z}$, which serves as the environment, be a sequence of i.i.d. random nonnegative vectors, with $L\ge1$ a positive integer. We study birth and death process $N_t$ which, given the environment $ω,$ waits at a state $n$ an exponentially distributed time with parameter $λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n$ and then jumps to $n-i$ with probability ${μ^i_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n),$ $i=1,...,L$ or to $n+1$ with probability ${λ_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n).$ A sufficient condition for the existence, a criterion for recurrence, and a law of large numbers of the process $N_t$ are presented. We show that the first passage time $T_1\overset{\mathscr D}{=}ξ_{0,1}+\sum_{i\le -1}\sum_{k=1}^{U_{i,1}}ξ_{i,k}+\sum_{i\le -1}\sum_{k= 1}^{U_{i,1}+...+U_{i,L}} ildeξ_{i+1,k},$ where $(U_{i,1},...,U_{i,L})_{i\le0}$ is an $L$-type branching process in random environment and, given $ω,$ $ξ_{i,k},\ ildeξ_{i,k},\ i\le 0,\ k\ge 1$ are mutually independent random variables such that $P_ω(ξ_{i,k}\ge t)=e^{-(λ_i+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_i)t},\ t\ge 0.$ This fact enables us to give an explicit velocity of the law of large numbers.

연구 동기 및 목표

• 일반 조건 하에서 랜덤 환경 속에서 유한 점프를 갖는 출생·사멸 과정이 거의 확실히 존재하는지 확인하는 것.
• 통합된 랜덤 워크의 구조에 기반해 과정의 재귀성 기준을 유도하는 것.
• 과정에 대해 대수법칙을 증명하고 명시적인 점근적 속도를 계산하는 것.
• 다형성 랜덤 환경에서의 분포수 과정을 사용해 첫 도달 시간을 분해함으로써 정밀한 점근적 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 상태에 따라 변화하는 점프율을 갖는 연속시간 마코프 과정을 정의하기 위해 보존적인 Q-행렬을 사용한다.
• 조건 (C1) 및 (C2) 하에서 Q-과정에 대한 고전적인 존재성 및 유일성 결과를 적용하여, 거의 확실히 경로 유일성을 확보한다.
• 통합된 이산시간 과정을 유한 점프를 갖는 랜덤 환경 속의 랜덤 워크로 모델링한다.
• 각 상태에 도달하기 전의 방문 횟수를 세기 위해 랜덤 환경 속의 다형성 분포수 과정을 사용한다.
• 독립성과 무기억성 성질을 활용해 첫 도달 시간 $T_1$을 방문 횟수로 가중된 지수 대기 시간의 합으로 분해한다.
• 전이율 비율의 행렬 곱을 통해 $T_1$의 고정된 기댓값을 유도하고, 대수법칙에서 명시적인 속도 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 환경 속에서 유한 점프를 갖는 출생·사멸 과정이 거의 확실히 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 환경 분포에 따라 이러한 과정의 재귀성 또는 비재귀성에 대한 기준은 무엇인가?
• RQ3 대수법칙의 범위에서 과정의 명시적인 점근적 속도는 무엇인가?
• RQ4 첫 도달 시간을 어떻게 분해하여 양의 상태에 도달하는 데 걸리는 평균 시간에 대한 정밀한 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 (C1) 및 (C2) 하에서 과정 $N_t$는 거의 확실히 존재하며, 이는 전이 준군의 유일성을 보장한다.
• 재귀성 기준은 랜덤 환경 속의 통합된 랜덤 워크의 행동에 따라 결정되며, 기존 결과를 유한 점프로 확장한다.
• 첫 도달 시간 $T_1$은 랜덤 환경 속의 다형성 분포수 과정과 독립적인 지수 랜덤 변수를 포함하는 분해를 갖는다.
• 고정된 조건 하에서 $T_1$의 기댓값은 $\mathbb{E}_\omega[T_1] = \sum_{i \leq 0} \frac{1}{\lambda_i + \sum_{l=1}^L \mu_i^l} \mathbf{e}_1 M_0 \cdots M_{i+1} \mathbf{1}$ 로 명시적으로 주어지며, 여기서 $M_i$ 는 전이 행렬이다.
• 대수법칙이 성립하며, 명시적인 속도를 갖는다: $\lim_{t \to \infty} N_t / t = (\mathbb{E}[S(\omega)])^{-1}$ 거의 확실히 성립하며, $\mathbb{E}[S(\omega)] < \infty$ 일 때 성립한다. 여기서 $S(\omega)$ 는 고정된 조건 하의 첫 도달 시간 기댓값이다.
• $\mathbb{E}[S(\omega)] = \infty$ 일 경우, 과정은 $\lim_{t \to \infty} N_t / t = 0$ 거의 확실히 성립하며, 이는 오른쪽으로의 비재귀성 또는 영재귀성을 나타낸다.