[논문 리뷰] Bisector surfaces and circumscribed spheres of tetrahedra derived by translation curves in $\SOL$ geometry

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ΓΟΛ$ 기하학에서의 이동 곡선과 이분면 표면을 연구하며, 두 점 사이의 이동 유사 이분면 표면에 대한 방정식을 유도하고, 사면체의 외접 이동 구면의 외심과 외접률을 계산하는 방법을 수립한다. 주요 결과로는 이동 삼각형에서 이등변 성질이 두 각이 같다는 것을 의미하지 않으며, 삼각부등식도 성립하지 않아 $ΟΟΟ$ 기하학에서 비유클리드적 성질이 드러남을 보여준다.

ABSTRACT

In the present paper we study the $\SOL$ geometry that is one of the eight homogeneous Thurston 3-geomet\-ri\-es. We determine the equation of the translation-like bisector surface of any two points. We prove, that the isosceles property of a translation triangle is not equivalent to two angles of the triangle being equal and that the triangle inequalities do not remain valid for translation triangles in general. Moreover, we develop a method to determine the centre and the radius of the circumscribed translation sphere of a given {\it translation tetrahedron}. In our work we will use for computations and visualizations the projective model of $\SOL$ described by E. Molnár in \cite{M97}.

연구 동기 및 목표

• 이동 곡선의 기하적 성질을 분석함으로써 $ΟΟΟ$ 기하학, 즉 균일한 투어스톤 기하학에서의 성질을 연구한다.
• 모든 두 점 사이의 이동 유사 이분면 표면의 방정식을 유도한다.
• 이동 삼각형에서 삼각부등식과 이등변 성질의 타당성을 조사한다.
• 사면체의 외접 이동 구면의 외심과 외접률을 계산하는 방법을 개발한다.
• 시각화 및 기하 대상의 계산을 위해 $ΟΟΟ$ 기하학의 사영 모델을 적용한다.

제안 방법

• 논문은 E. Molnár가 서술한 바에 따라 $ΟΟΟ$ 기하학의 사영 모델을 사용하여 점과 변환을 대수적으로 표현한다.
• 이동 곡선은 $ΟΟΟ$ 리 군의 오른쪽 불변 벡터장의 탄젠트 벡터를 갖는 곡선으로 정의되며, 이는 미분방정식계를 이끈다.
• 군 곱셈으로부터 유도된 이동 거리 함수 $d^t$ 는 두 점 사이의 등거리 표면을 정의하는 데 사용된다.
• 두 점 사이의 이분면 표면은 $d^t$ 에서 등거리인 점들의 집합으로 계산되며, 이는 렘마 3.3를 통해 명시적인 대수 방정식으로 이어진다.
• 사면체의 외심은 $d^t(A_i, C) = d^t(A_j, C)$ 를 만족하는 $C$ 를 구함으로써 유도되며, $i,j \in \{1,2,3,4\}$, $i<j$ 이고, 이분면 표면 방정식을 사용한다.
• 외심 $C$ 가 결정된 후 외접률은 $r = d^t(A_1, C)$ 로 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 삼각형에서 이등변 성질은 $ΟΟΟ$ 기하학에서 두 각이 같다는 것을 의미하는가?
• RQ2 표준 삼각부등식은 $ΟΟΟ$ 기하학에서 이동 삼각형에 대해 성립하는가?
• RQ3 이동 거리 함수를 사용하여 $ΟΟΟ$ 기하학에서 사면체의 외심과 외접률을 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ4 두 점 사이의 이동 유사 이분면 표면의 대수적 형태는 무엇인가?
• RQ5 이동 삼각형의 세 꼭짓점에서 등거리인 점들의 위치는 $ΟΟΟ$ 기하학에서 어떻게 매개변수화할 수 있는가?

주요 결과

• 이동 삼각형에서 이등변 성질은 두 각이 같다는 것을 의미하지 않으며, 이는 $ΟΟΟ$ 기하학에서 비유클리드적 성질을 보여준다.
• 이동 삼각형에서 일반적으로 삼각부등식이 성립하지 않으며, 이는 유클리드 거리 성질과의 이격을 나타낸다.
• 모든 이동 사면체에 대해 $ΟΟΟ$ 기하학에서 외심과 외접률은 이동 거리의 등식으로부터 유도된 방정식계를 풀어 유일하게 결정된다.
• 꼭짓점이 $[x,y]$-평면($z=0$) 상에 있는 이동 삼각형의 등거리 점들의 위치는 식 (3.9)에 의해 주어진 바와 같이 $z$ 에 대한 유리 함수로 매개변수화된다.
• 꼭짓점이 $A_1=(1,0,0,0)$, $A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$, $A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$, $A_4=(1,\frac{1}{20},\frac{3}{20},\frac{1}{5})$ 인 사면체의 외접률은 약 $r \approx 0.14688$ 이다.
• 꼭짓점이 $A_1=(1,0,0,0)$, $A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$, $A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$, $A_4=(1,-\frac{3}{20},-\frac{3}{20},\frac{3}{10})$ 인 다른 사면체의 외접률은 약 $r \approx 0.36332$ 이다.