[논문 리뷰] Bisimulations for intuitionistic temporal logics

Philippe Balbiani, Joseph Boudou외 2명|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2018. 03. 14.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 직관적 시간논리 ITL^e에 대해 이분법적 관계를 도입하며, 'until' (U) 및 'release' (R) 모달성을 추가로 확장한다. 이는 '최소한 한 번' (◇) 및 '항상' (□) 연산자가 다른 것들과 상호정의 가능하지 않음을 입증한다—특히, 확장 모델에서 □와 U로부터 ◇를 정의할 수 없으며, 여기와 그때 모델의 더 작은 클래스에서조차도 U와 R로부터 □를 정의할 수 없다. 이는 새로운 이분법 기반의 정의 가능성 증명을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We introduce bisimulations for the logic $ITL^e$ with `next', `until' and `release', an intuitionistic temporal logic based on structures equipped with a partial order used to interpret intuitionistic implication and a monotone function used to interpret the temporal modalities. Our main results are that `eventually', which is definable in terms of `until', cannot be defined in terms of `next' and `henceforth', and similarly that `henceforth', definable in terms of `release', cannot be defined in terms of `next' and `until', even over the smaller class of here-and-there models.

연구 동기 및 목표

• ITL^e에 '다음', 'until', 'release' 모달성을 포함한 이분법 이론을 개발한다.
• 시간 연산자—특히 ◇와 □가 다른 연산자들에 의해 정의 가능한지 여부를 조사한다.
• 이분법 불변성에 기반한 비정의 가능성 결과를 통해 ITL^e의 표현 능력의 한계를 명확히 한다.
• ITL^e의 결정 가능성에 관한 이전 연구를 확장하여, 모달성 간 정의 독립성 문제를 탐구한다.

제안 방법

• ITL^e 모델에 대해 '다음', 'until', 'release', '최소한 한 번', '항상' 모달성을 유지하는 새로운 이분법 클래스를 도입한다.
• 제한된 □-이분법과 U/R-이분법을 정의하여 모델 변환에 대한 불변성을 분석한다.
• 특정 반례 모델(예: 유한한 확장 모델 및 여기와 그때 모델)을 구성하여 비정의 가능성의 가능성을 입증한다.
• 논리적 동치성과 이분법 하에서의 진리 보존성을 사용하여, 일부 공식이 부분언어에서 표현될 수 없음을 보여준다.
• 이분법적 점들이 동일한 공식을 만족한다는 사실을 활용하여, 제한된 언어 내 공식이 ◇나 □를 포괄할 수 없음을 증명한다.
• 결과를 적용하여, 확장 모델에서 ◇가 □와 U로부터 정의 가능하지 않으며, 여기와 그때 모델에서 □가 U와 R로부터 정의 가능하지 않음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장 모델의 클래스에서 '최소한 한 번' 연산자 ◇는 '항상' □와 'until' U로부터 정의 가능할 수 있는가?
• RQ2 여기와 그때 모델의 클래스에서 '항상' 연산자 □는 'until' U와 'release' R로부터 정의 가능할 수 있는가?
• RQ3 ITL^e에서 ◇, □, U, R 모달성들은 상호정의 가능할 수 있는가, 아니면 엄격한 정의 의존 관계가 존재하는가?
• RQ4 시간 연산자의 정의 가능성에 대해 이분법 불변성 특성화가 존재하는가?
• RQ5 ITL^e의 부분언어의 표현 능력은 어떠한가, 특히 일차 직관적 논리와의 관계에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 유한한 확장 모델의 클래스에서 '최소한 한 번' 연산자 ◇는 제한된 □-이분법 증명을 통해 □와 U로부터 정의 가능하지 않다.
• 더 작은 여기와 그때 모델의 클래스에서도 '항상' 연산자 □는 U와 R로부터 정의 가능하지 않으며, U/R-이분법를 통해 입증된다.
• 공식 ◇p는 확장 모델에서 ℒ□ 언어의 어떤 공식과도 동치가 아니며, (0,0)과 (0,1)이 □-이분법적이지만 ◇p에서 다름을 보이는 모델을 통해 입증된다.
• 여기와 그때 모델에서 p U q ≡ (q R (p∨q)) ∧ ◇p의 동치가 성립함을 통해, U는 R과 ◇로부터 정의 가능함을 보여준다.
• U와 R을 포함한 ITL^e 논리는 부분언어 측면에서 표현적으로 완전하지 않다; ◇와 □는 다른 연산자들과 상호정의 가능하지 않다.
• 결과적으로 ◇와 □ 사이에 엄격한 정의 독립성이 입증되며, 고전적으로 ◇ ≡ ⊤ U p 및 □ ≡ ⊥ R p이지만, 직관적 논리에서의 이중성 불성립으로 인해 그러한 정의가 성립하지 않는다.