[논문 리뷰] Bisimulations for Nondeterministic Labeled Markov Processes

Pedro R. D’Argenio, Pedro Sánchez Terraf외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 15.

Formal Methods in Verification참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 확률 전이와 내부 비결정성을 동시에 갖는 시스템을 모델링하기 위해 비결정적 레이블러드 마르코프 과정(NLMPs)을 도입한다. 세 가지 분할 관계—기존의, 상태 기반의, 이벤트 기반의—를 정의하고, 가장 큰 상태 분할 관계가 이벤트 분할 관계와 일치함을 증명한다. 주요 기여는 이벤트 분할 관계를 특징짓는 헨니시-밀너 스타일의 논리로, 이미지 유한성과 분석적 보렐 공간 조건 하에서는 모든 분할 관계 개념이 동치가 된다.

ABSTRACT

We extend the theory of labeled Markov processes with internal nondeterminism, a fundamental concept for the further development of a process theory with abstraction on nondeterministic continuous probabilistic systems. We define nondeterministic labeled Markov processes (NLMP) and provide three definition of bisimulations: a bisimulation following a traditional characterization, a state based bisimulation tailored to our "measurable" non-determinism, and an event based bisimulation. We show the relation between them, including that the largest state bisimulation is also an event bisimulation. We also introduce a variation of the Hennessy-Milner logic that characterizes event bisimulation and that is sound w.r.t. the other bisimulations for arbitrary NLMP. This logic, however, is infinitary as it contains a denumerable $\lor$. We then introduce a finitary sublogic that characterize all bisimulations for image finite NLMP whose underlying measure space is also analytic. Hence, in this setting, all notions of bisimulation we deal with turn out to be equal. Finally, we show that all notions of bisimulations are different in the general case. The counterexamples that separate them turn to be non-probabilistic NLMP.

연구 동기 및 목표

• 내부 비결정성을 포함한 레이블러드 마르코프 과정(LMPs)을 확장하여 연속적인 확률 시스템에서 추상화를 가능하게 한다.
• 비결정적 레이블러드 마르코프 과정(NLMPs)에 대해 기존의, 상태 기반의, 이벤트 기반의 세 가지 분할 개념을 정의하고 비교한다.
• 이벤트 분할 관계를 특징짓는 모달 논리를 개발하고, 다른 분할 유형에 대해서도 타당성을 입증한다.
• 모든 분할 관계 개념이 일치하는 조건을 규명하며, 특히 분석적 보렐 공간 상의 이미지 유한 NLMPs에서의 경우를 중심으로 다룬다.
• 일반적인 경우에서 세 분할 관계 개념이 서로 다름을 보여주는 자연스러운 반례를 제시한다.

제안 방법

• 상태 공간, 레이블, 그리고 각 상태와 레이블에 대해 가측 측도 집합을 할당하는 전이 함수를 갖는 NLMPs를 정의한다.
• 기르리의 측도 공간에 σ-대칭을 도입하여 전이 함수의 가측성을 보장한다.
• 세 가지 분할 관계를 정의한다: 기존의(상태 간의 관계 기반), 상태 기반의(가측성 불변성 기반), 이벤트 기반의(서브-σ-대칭의 정렬 기반).
• 상태 공식과 측도 공식을 포함하는 이중 유형의 헨니시-밀너 논리 구축하며, 내부 비결정성을 포괄하기 위해 가산 불한정 합을 允허한다.
• 논리가 이벤트 분할 관계를 완전히 특징짓고, 기존 및 상태 분할 관계에 대해서도 타당함을 증명한다.
• 이미지 유한 NLMPs가 분석적 보렐 공간 위에 존재할 경우, 세 분할 관계 개념이 모두 동치임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레이블러드 마르코프 과정은 어떻게 내부 비결정성을 포함하면서도 가측성 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 NLMPs에서 기존의, 상태 기반의, 이벤트 기반의 분할 관계 간의 관계는 어떠한가?
• RQ3 NLMPs에서 이벤트 분할 관계를 특징짓는 모달 논리는 존재하는가? 그리고 다른 분할 개념과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 NLMPs에서 기존의, 상태 기반의, 이벤트 기반의 분할 관계가 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 세 분할 관계 개념이 서로 다를 수 있는 자연스러운 반례는 존재하는가? 그리고 이러한 반례는 비결정적 확률 시스템의 의미론에 대해 무엇을 드러내는가?

주요 결과

• NLMPs에서 가장 큰 상태 분할 관계는 이벤트 분할 관계이기도 하며, LMP 이론의 핵심 결과를 일반화한다.
• 가산 불한정 합을 포함하는 헨니시-밀너 스타일의 논리는 NLMPs에서 이벤트 분할 관계를 완전히 특징짓는다.
• 분석적 보렐 공간 상의 이미지 유한 NLMPs에서는 세 분할 관계 개념(기존의, 상태 기반의, 이브넷 기반의)이 모두 동치이다.
• 일반적인 경우에서 반례를 통해 세 분할 관계 개념이 서로 다름을 보이며, 가장 두드러진 차이는 비확률적 NLMPs에서 비가산 분기 공간을 가질 경우 발생한다.
• 일반적으로 기존의 분할 관계는 상태 분할 관계보다 더 정밀하므로, 상태 분할 관계는 관측 가능한 행동에 더 적합할 수 있음을 시사한다.
• 반례에서 일부 비가측 또는 가측 집합을 논리가 구분하지 못하므로, 추가적인 레이블 구조 없이 모든 행동적 차이를 포괄하는 데에는 한계가 있음을 시사한다.