[논문 리뷰] Bismut Formula for Lions Derivative of Distribution Dependent SDEs and Applications

Panpan Ren, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분포에 의존하는 SDE의 리오네스 도함수에 대한 비스무트 유형의 공식을 말레비앙 미적분을 사용하여 수립한다. 이를 통해 초기 분포가 다른 해들 사이의 워샤프스키 거리에 대한 명시적 경계와 기울기 추정을 가능하게 한다. 주요 기여는 반도체 성질이 없고 표준 공식 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$가 성립하지 않는 경우에도 유효한, 반도체 $P_t f(\mu) = \mathbb{E}[f(X_t^\mu)]$에 대한 $L$-도함수에 대한 비스무트 공식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

By using Malliavin calculus, Bismut type formulas are established for the Lions derivative of $P_tf(μ):=\mathbb E f(X_t^μ)$, where $t>0,$ $ f $ is a bounded measurable function, and $X_t^μ$ solves a distribution dependent SDE with initial distribution $μ$. As applications, explicit estimates are derived for the Lions derivative and the total variational distance between distributions of solutions with different initial data. Both degenerate and non-degenerate situations are considered. Due to the lack of the semigroup property and the invalidity of the formula $P_tf (μ)= \int P_tf(x)μ(d x)$, essential difficulties are overcome in the study.

연구 동기 및 목표

• 분포에 의존하는 SDE와 관련된 반도체 $P_t f(\mu) = \mathbb{E}[f(X_t^\mu)]$의 리오네스 도함수에 대한 비스무트 유형의 공식을 유도하는 것.
• 반도체 성질의 부재와 공식 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$의 무효성으로 인해 기존 접근 방식이 복잡해지는 문제를 해결하는 것.
• 다른 초기 측도에서 시작하는 해들의 분포 간의 총변동 거리에 대한 명시적 추정을 제공하는 것.
• 분포에 의존하는 SDE에서 비분리 및 비분리된 확산 계수에 대해 비스무트 공식 기법을 확장하는 것.

제안 방법

• 측도에 의존하는 과정의 기능 이토 미적분 프레임워크를 활용하여, 말레비앙 미적분을 사용해 $P_t f(\mu)$의 리오네스 도함수에 대한 비스무트 유형의 공식을 유도한다.
• 위너 공간 위에서의 부분적 통합 공식을 적용하여 비스무트-엘워티-리 공식을 $L$-도함수 설정에 적응시킨다.
• 초기 법을 $\mu^\phi = \mu \circ (\text{Id} + \phi)^{-1}$ 방식으로 변형하고, 해 흐름의 도함수를 사용하여 방향 도함수 $D_\phi^L P_T f(\mu)$를 연구한다.
• 도함수 연산자의 수반을 포함하는 핵심 항등식을 수립한다: $D_\phi^L P_T f(\mu) = \mathbb{E}[\langle \nabla f(X_T), \nabla_{\phi(X_0)} X_T \rangle] = \mathbb{E}[f(X_T) D^*(h)]$, 여기서 $D^*(h)$는 과정 $h$의 스코로호드 적분이다.
• $\varepsilon \to 0$의 극한에서 도함수 공식의 수렴을 증명하기 위해 $\mathbb{E}|D^*(h^{\alpha^{\phi,s}}) - D^*(h)|^2 \to 0$을 보이고, 조건부 기대를 사용하여 차이 $f(X_T^{\phi,s}) - f(X_T)$를 통제한다.
• 부분적 통합 항등식과 극한 추론을 조합하여 주요 비스무트 공식 (2.16)을 도출하며, 유계 가측 함수 $f$에 대해 $P_T f$의 $L$-가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포에 의존하는 SDE와 관련된 반도체 $P_t f(\mu)$의 리오네스 도함수에 대해 비스무트 유형의 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 반도체 성질이 없을 경우 리오네스 도함수의 기울기 추정과 정규성 성질을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 다른 초기 분포를 가진 해들 사이의 $L$-도함수와 워샤프스키 거리에 대한 명시적 경계는 무엇인가?
• RQ4 말레비앙 미적분은 비마르코프성 및 비반도체 구조를 가진 분포에 의존하는 SDE를 다루기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 유계 가측 함수 $f$에 대해 유효한, $P_t f(\mu)$의 리오네스 도함수에 대한 비스무트 유형의 공식이 수립되었으며, $D_\phi^L P_T f(\mu) = \mathbb{E}[\langle \nabla f(X_T), \nabla_{\phi(X_0)} X_T \rangle]$로 표현된다.
• 스코로호드 적분 $D^*(h)$를 포함하는 부분적 통합 항등식을 통해 공식이 도출되었으며, $h$는 흐름의 도함수로부터 구성된다.
• 모든 유계 가측 함수 $f \in \mathscr{B}_b(\mathbb{R}^{m+d})$에 대해 $P_T f$의 $L$-가능성이 입증되었으며, 이는 이전 결과를 일반 유계 함수로 확장한다.
• 공식을 통해 $L$-도함수 노름에 대한 명시적 추정을 얻었으며, $\|D^L P_T f(\mu)\| \leq \sup_{\mu(|\phi|^2) \leq 1} \mathbb{E}[|D^*(h^\alpha)|]$의 경계를 통해 유도되었으며, $D^*(h^\alpha) \in L^p(\mathbb{P})$ for all $p \in (1,\infty)$이다.
• 유도된 기울기 경계와 $L$-도함수 구조를 사용하여 다른 초기 측도를 가진 해들의 총변동 거리에 대한 추정을 수행하였다.
• 이 방법은 비분리 및 비분리된 확산 계수를 모두 다룰 수 있었으며, 반도체 성질의 부재와 표준 공식 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$의 실패 문제를 해결하였다.