[논문 리뷰] Bit complexity for multi-homogeneous polynomial system solving Application to polynomial minimization

Mohab Safey El Din, Éric Schost|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 24.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 54인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 유리수 위에서 다중 동차 다항식 체계를 해결하기 위한 확률적 알고리즘을 제시하며, 일반성 조건 하에 해의 수에 대해 제곱형이고 입력 높이에 대해 선형인 비트 복잡도를 가지며, 이는 다중 동차 데자이르 경계와 0차원 매개변수 표현을 활용함으로써 달성된다. 이 결과는 라그랑주 승수를 통한 다항식 최소화 문제에 적용되어 최적화 문제에 대해 엄밀한 비트 복잡도 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Multi-homogeneous polynomial systems arise in many applications. We provide bit complexity estimates for solving them which, up to a few extra other factors, are quadratic in the number of solutions and linear in the height of the input system under some genericity assumptions. The assumptions essentially imply that the Jacobian matrix of the system under study has maximal rank at the solution set and that this solution set if finite. The algorithm is probabilistic and a probability analysis is provided. Next, we apply these results to the problem of optimizing a linear map on the real trace of an algebraic set. Under some genericity assumptions, we provide bit complexity estimates for solving this polynomial minimization problem.

연구 동기 및 목표

• 유리수 위에서 다중 동차 다항식 체계를 해결하기 위한 비트 복잡도 최적화 알고리즘 개발
• 해의 수에 대해 제곱형이고 입력 높이에 대해 선형인 엄밀한 비트 복잡도 경계 설정
• 라그랑주 승수를 사용한 제약 조건이 있는 다항식 최소화 문제에 알고리즘 적용
• 최대 자코비안 랭크 및 유한한 해 집합을 포함한 일반성 조건 하에서 결과가 성립하도록 보장
• 확률적 알고리즘의 정확성과 효율성에 대한 확률 분석 제공

제안 방법

• 해 집합을 대수적으로 표현하기 위해 분리 선형 형식 λ를 사용하는 0차원 매개변수 표현 사용
• 표준 데자이르 경계보다 더 정밀하게 해의 수를 추정하기 위해 다중 동차 데자이르 경계 적용
• 해 집합 표현의 높이를 유계화하기 위해 초형 및 산술 초형환을 활용
• 다항식의 높이와 해 집합의 차수를 사용하여 비트 복잡도 추정
• 확률적 알고리즘으로서 일반성 조건 하에서 정확성을 보장하는 확률 분석 포함
• 문제를 라그랑주 체계로 감소시켜 다중 동차 체계로 간주함으로써 다항식 최소화 문제로의 확장

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반성 조건 하에서 다중 동차 다항식 체계를 푸는 데 필요한 비트 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 비트 복잡도는 해의 수와 입력 다항식의 높이에 대해 어떻게 변화하는가?
• RQ3 라그랑주 승수를 통한 다항식 최소화 문제로 동일한 복잡도 경계를 확장할 수 있는가?
• RQ4 표준 데자이르 경계에 비해 다중 동차 구조가 복잡도 추정 향상에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 0차원 매개변수 표현과 초형은 해의 비트 크기를 유계화하는 데 어떻게 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 다중 동차 체계를 푸는 데 필요한 비트 복잡도는 해의 수에 대해 제곱형이고 입력 높이에 대해 선형이며, 로그 인자들을 제외한 범위 내에서 유계화된다.
• 알고리즘이 최대 자코비안 랭크가 해에서 성립하고 해 집합이 유한할 때 일반성 조건 하에서 이 복잡도를 달성한다.
• 해 집합의 초형 높이는 Hn(η, d) + log(N + 1)Cn(d)로 유계화되며, 여기서 Hn과 Cn은 생성 함수를 통해 정의된다.
• 다항식 최소화 문제에서는 라그랑주 체계가 다중 동차 체계임을 보여주어 동일한 복잡도 경계 적용 가능함이 입증된다.
• 0차원 매개변수 표현에 포함된 다항식의 높이는 Hn(η, d) + (b + 4 log(N + 2))Cn(d)로 유계화되며, 여기서 b는 선형 형식 λ의 높이다.
• 결과는 확률적이며, 동일한 일반성 조건 하에서 정확성 분석이 제공된다.