[논문 리뷰] Bivariant Hopf cyclic cohomology

Atabey Kaygun, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|2006. 06. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이중형 Hopf 순환 코hom로지와 $H$-모듈로 알지브라 및 $H$-모듈로 코알지브라에 대한 이중형 등변 순환 코호몰로지 이론을 제안하며, Connes의 순환 분류를 $H$-등변 설정으로 확장한다. 이 이론들은 Hopf 순환 코호몰로지와 그 이중 이론을 일반화하며, 모티바 이론을 증명하고 외부 곱을 통한 주기성 $S$-연산자를 통해 순환(코)호몰로지와 $H$-모듈로(코)호몰로지를 하나의 프레임워크 안에서 통합한다.

ABSTRACT

For module algebras and module coalgebras over an arbitrary bialgebra, we define two types of bivariant cyclic cohomology groups called bivariant Hopf cyclic cohomology and bivariant equivariant cyclic cohomology. These groups are defined through an extension of Connes' cyclic category $Λ$. We show that, in the case of module coalgebras, bivariant Hopf cyclic cohomology specializes to Hopf cyclic cohomology of Connes and Moscovici and its dual version by fixing either one of the variables as the ground field. We also prove an appropriate version of Morita invariance for both of these theories.

연구 동기 및 목표

• 이중형 Hopf 순환 코호몰로지 이론을 $H$-모듈로 알지브라 및 코알지브라에 대해 개발하여 Connes-Moscovici 이론을 일반화한다.
• 순환 분류 $\Lambda$의 $H$-등변 확장을 통해 순환(코)호몰로지와 $H$-모듈로(코)호몰로지를 하나의 프레임워크 안에서 통합한다.
• 이중형 이론에 대해 모티바 이론을 확립하여, 모듈로 코알지브라의 $H$-등변 모티바 동치에 대해 불변성을 보인다.
• 주기성 $S$-연산자와 외부 곱의 구조를 정의하고, $HC^*_H(k,k;k,k)$ 가 모든 이중형 코호몰로지 군에 작용함을 보인다.

제안 방법

• 이중형 순환 $H$-모듈로와 그 변종을, 이중형 대수 $\mathcal{P}(H)$ 를 통해 정의하며, 이는 $H$-등변 설정에서 Connes의 순환 분류 $\Lambda$ 를 일반화한다.
• 이중형 코호몰로지 군을 $H$-등변 (코)순환 모듈로의 범주에서의 $\mathrm{Ext}$ 군으로 정의하며, 순환 분류의 $H$-등변 구조를 활용한다.
• 모듈로 코알지브라에 대해, $C$ 의 $k$-선형 이중 $C^*$ 를 정의하고, $C^*$ 가 $H$-모듈로 알지브라로서 $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$ 와 동형임을 보인다.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 이중형 등변 코호몰로지와 일반 순환 코호몰로지 사이의 관계를 규명하며, Hopf 순환 코호몰로지가 $E_2$-항목에 나타남을 보인다.
• 외부 곱을 통해 $HC^*_H(k,k;k,k)$ 와 $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ 가 모든 이중형 코호몰로지 모듈에 그룹으로 작용하는 것을 증명한다.
• 모듈로 코알지브라의 카테고리 $\mathbf{proj}_H\text{--}C$ 와 $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ 가 $H$-등변 동치일 경우, 그들의 Hopf 및 등변 순환(코)호몰로지가 동형임을 보여 이론적 모티바 이론을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 분류 $\Lambda$ 의 $H$-등변 확장을 통해 Hopf 순환 코호몰로지를 $H$-모듈로 알지브라 및 코알지브라에 대해 이중형 이론으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 새로운 이중형 이론과 Connes 및 Moscovici의 원래 Hopf 순환 코호몰로지 이론과 그 이중 이론 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 순환 코호몰로지의 $S$-연산자와 주기성은 이중형 $H$-등변 설정으로 확장될 수 있으며, 이는 코호몰로지 군에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 이러한 이중형 이론은 어느 정도 모티바 이론을 만족하며, 이는 모듈로 코알지브라의 $H$-등변 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이중형 이론은 어떻게 순환(코)호몰로지와 $H$-모듈로(코)호몰로지를 하나의 프레임워크 안에서 통합하는가?

주요 결과

• 모듈로 코알지브라에 대한 이중형 Hopf 순환 코호몰로지 $HC^*_{\rm Hopf}(C,C';M,M')$ 는 $C = k$ 이고 $M = k$ 일 때 표준 Hopf 순환 코호몰로지로 특수화되며, $C' = k$ 이고 $M' = k$ 일 때는 이론의 이중 이론으로 특수화되어 기존의 구성과 일관됨을 확인한다.
• 이중형 등변 코호몰로지 $HC^*_H(C,C';M,M')$ 는 수렴하는 스펙트럴 시퀀스에 포함되며, $E_2$-항목이 일반 순환 코호몰로지임을 보여 이론이 자연스러운 확장임을 입증한다.
• $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ 는 외부 곱을 통해 모든 이중형 Hopf 순환 코호몰로지 모듈에 작용하며, 이 작용은 $S$-연산자를 통해 생성되며 Connes의 주기성 이론을 일반화한다.
• $HC^*_H(k,k;k,k)$ 는 $\mathrm{Ext}^*_H(k,k)$ 와 $S$-연산자 대수의 그룹적 $k$-대수 확장으로서 동형임을 스펙트럴 시퀀스의 그룹적 $k$-대수 이론을 통해 보였다.
• 모듈로 코알지브라에 대해 모티바 이론이 성립한다: $\mathbf{proj}_H\text{--}C$ 와 $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ 가 $H$-등변 동치일 경우, $C^*$ 와 $C'^*$ 는 동형인 Hopf 및 등변 순환(코)호몰로지를 가진다.
• $H$-모듈로 코알지브라 $C$ 의 $k$-선형 이중 $C^*$ 는 $H$-모듈로 알지브라로서 $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$ 와 동형임을 보였으며, 이는 이론 내에서 코알지브라와 알지브라 사이의 핵심 이중성 연결 고리를 제공한다.