[논문 리뷰] Bivariate Exponentiated Generalized Linear Exponential Distribution with Applications in Reliability Analysis

Mohamed Ibrahim, Mohamed S. Eliwa외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Statistical Distribution Estimation and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 신뢰성 분석에서 정적 상관관계를 가진 수명을 유연하게 모델링할 수 있도록 마셜-올킨 충격 모델 기반의 이변량 지수화된 일반화된 선형 지수 분포(BEGLED)를 제안한다. 이 분포는 실제 데이터에 대해 기존의 이변량 모델보다 더 나은 적합도를 보이며, 닫힌 형태의 결합 및 주변 분포를 제공하고 시뮬레이션 및 실제 데이터 분석을 통해 검증된다.

ABSTRACT

The aim of this paper, is to define a bivariate exponentiated generalized linear exponential distribution based on Marshall-Olkin shock model. Statistical and reliability properties of this distribution are discussed. This includes quantiles, moments, stress-strength reliability, joint reliability function, joint reversed (hazard) rates functions and joint mean waiting time function. Moreover, the hazard rate, the availability and the mean residual lifetime functions for a parallel system, are established. One data set is analyzed, and it is observed that, the proposed distribution provides a better fit than Marshall-Olkin bivariate exponential, bivariate generalized exponential and bivariate generalized linear failure rate distributions. Simulation studies are presented to estimate both the relative absolute bias, and the relative mean square error for the distribution parameters based on complete data.

연구 동기 및 목표

• 신뢰성 공학에서 종속 수명 데이터를 모델링하기 위한 민감한 이변량 분포를 개발하기 위해.
• 마셜-올킨 충격 모델을 사용하여 단변량 지수화된 일반화된 선형 지수 분포(EGLED)를 이변량 형태로 확장하기 위해.
• 결합 밀도, 고장률, 평균 대기 시간 함수 등을 포함한 주요 통계적 및 신뢰성 특성의 유도 및 분석하기 위해.
• 시뮬레이션 연구와 실제 데이터 피팅을 통해 최대우도추정량의 성능을 평가하기 위해.
• 마셜-올킨 이변량 지수 분포, 이변량 일반화된 지수 분포, 이변량 일반화된 선형 고장률 분포와 비교하여 BEGLED가 더 뛰어난 적합도를 보이는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 마셜-올킨 충격 모델에 기반하여, 세 개의 독립된 EGLED 분포를 가진 랜덤 변수 $U_1, U_2, U_3$를 사용하여 이변량 분포를 구성하며, $X_k = \text{max}(U_k, U_3)$ ($k=1,2$)로 정의한다.
• 결합 누적분포함수(CDF)와 밀도함수(PDF)를 $x_1 < x_2$, $x_2 < x_1$, $x_1 = x_2$의 경우로 나누어(piecewise) 유도한다.
• $X_1$과 $X_2$의 주변 분포를 각각 매개수 $ heta_i + heta_3$를 가진 EGLED로 표현하여 모델의 유연성을 확보한다.
• 주요 복구 기능을 수립한다: 결합 역(역행) 고장률, 결합 평균 대기 시간, 응력-강도 복구율, 병렬 시스템의 가용성 및 평균 잔여 수명.
• 최대우도추정법(MLE)을 사용하여 여섯 개의 매개수 $ heta_1, heta_2, heta_3, heta, heta, heta$ (수정된 형태로 $ heta_1, heta_2, heta_3, heta, heta$)를 추정하며, $ heta$는 형태 및 척도 매개수를 나타낸다.
• 다양한 표본 크기($n = 30, 50, 100, 200$)에서 파ameter 추정치의 상대 절대 편향과 상대 평균제곱오차(MSE)를 계산하기 위해 시뮬레이션 연구를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마셜-올킨 충격 모델을 사용하여 지수화된 일반화된 선형 지수 분포의 이변량 확장형을 구성하여 종속 수명을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 제안된 BEGLED에서 결합 및 주변 복구 기능, 예를 들어 결합 고장률 및 평균 대기 시간은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 BEGLED는 마셜-올킨 이변량 지수 분포, 이변량 일반화된 지수 분포, 이변량 일반화된 선형 고장률 분포와 같은 기존의 이변량 모델보다 더 나은 통계적 적합도를 제공하는가?
• RQ4 BEGLED의 여섯 개 매개수에 대한 최대우도추정량의 편향과 평균제곱오차는 표본 크기가 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 BEGLED는 경쟁 모델들과 비교하여 실제 多변량 수명 데이터에 대한 피팅 성능이 뛰어나다고 할 수 있는가?

주요 결과

• BEGLED는 마셜-올킨 이변량 지수 분포, 이변량 일반화된 지수 분포, 이변량 일반화된 선형 고장률 분포보다 실제 데이터 세트에 대해 더 나은 적합도를 보였다.
• 모든 매개수에 대한 MLE의 상대 절대 편향은 표본 크기가 증가함에 따라 감소하며, $ heta_1=0.5$일 경우 $n=30$에서 0.146에서 $n=200$에서 0.023으로 감소하였다.
• $ heta_1=0.5$일 때 상대 MSE는 $n=30$에서 0.099에서 $n=200$에서 0.012로 감소하여 더 큰 표본에서 추정 정밀도가 향상됨을 시사한다.
• 모수에 대한 95% 신뢰구간은 표본 크기가 증가함에 따라 좁아지며, $ heta_1=0.5$의 경우 $n=30$에서 (0.2091, 1.3758)에서 $n=100$에서 (0.2977, 0.9242)로 좁아져 추정 정확도 향상을 보였다.
• 결합 CDF와 PDF는 닫힌 형태로 제공되어, 양의 상관관계를 가진 비음수 랜덤 변수에 대한 실제 신뢰성 모델링에 적용 가능하다.
• 중위수 상관계수 $M_{X_1,X_2}$가 도출되었으며, 이를 통해 이변량 데이터 생성이 가능하여 시뮬레이션 및 모델 검증을 지원한다.