[논문 리뷰] Bivariate Lagrange Interpolation on Tower Interpolation Sites

Tian Dong, Tao Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 08.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이변량 라그랑주 보간법을 위한 타워 보간 점을 도입하여, 표준 단항식 순서 하에서 차수 감소 기반의 모노미얼 및 뉴턴 기반을 이론적으로 계산할 수 있도록 한다. 이 기반들을 부흐버거-몰러 알고리즘에 활용함으로써, 타워 점을 직접 입력하는 것보다도 보존 이상의 이상적 기반을 더 빠르게 계산할 수 있다.

ABSTRACT

AbstractAs is well known, the geometry of the interpolation site of a multivariate polynomial interpola-tion problem constitutes a dominant factor for the structures of the interpolation polynomials.Solving interpolation problems on interpolation sites with special geometries in theory may bea key step to the development of general multivariate interpolation theory. In this paper, weintroduce a new type of 2-dimensional interpolation sites, tower interpolation sites, whose asso-ciated degree reducing Lagrange interpolation monomial and Newton bases w.r.t. fixed standardterm orders such as lexicographical order, total degree lexicographical order, etc. can be figuredout theoretically. Inputting these interpolation bases into Buchberger-Mo¨ller(BM) algorithm, wecan also construct the reduced Grobner bases for related vanishing ideals. Experimental resultsshow that in this way we can get the bases much faster than inputting tower sites directly intoBM algorithm. Keywords: Bivariate Lagrange interpolation, Degree reducing interpolation space, Towerinterpolation site, Grobner basis

연구 동기 및 목표

• 기하학적 구조가 보간 기반의 이론적 유도를 지원하는 새로운 2차원 보간 점의 클래스—타워 보간 점—을 개발한다.
• 순서어순(예: 사전순 및 총차수 사전순 순서)과 같은 표준 단항식 순서 하에서 이러한 점들에 대한 차수 감소 기반의 모노미얼 및 뉴턴 기반을 계산한다.
• 유도된 기반들을 부흐버거-몰러 알고리즘에 적용하여, 이러한 보간 점들의 보존 이상의 이상적 기반을 더 빠르게 구성할 수 있도록 한다.
• 구조적인 기하학을 가진 다변수 보간 문제를 해결하기 위한 이론적 기반을 구축하여, 일반적인 다변수 보간 이론을 발전시킨다.

제안 방법

• 특정 기하 구성이 보간 기반의 분석적 계산을 용이하게 하는 새로운 2차원 보간 점의 클래스로 타워 보간 점을 정의한다.
• 사전순 및 총차수 사전순 순서와 같은 고정된 표준 단항식 순서 하에서 이러한 점들에 대한 차수 감소 기반의 모노미얼 및 뉴턴 기반을 도출한다.
• 유도된 보간 기반을 직접 점들에 대한 입력 대신 부흐버거-몰러 알고리즘에 적용하여 계산 효율성을 향상시킨다.
• 유도된 기반의 이론적 유도는 정확성을 보장하며, 직접 알고리즘 입력보다 더 빠른 그로브너 기반 계산을 가능하게 한다.
• 유도된 기반을 부흐버거-몰러 알고리즘의 입력으로 사용하여 관련 보존 이상의 이상적 기반을 계산한다.
• 실험을 통해 유도된 기반을 사용할 경우 타워 점을 직접 입력하는 것보다 그로브너 기반 계산 속도가著로 향상됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보존 이상의 차수 감소 보간 기반을 이론적으로 계산할 수 있도록 하는 새로운 2차원 보간 점의 클래스—타워 점—을 정의할 수 있는가?
• RQ2 사전순 및 총차수 사전순 순서와 같은 표준 단항식 순서는 타워 점에서 모노미얼 및 뉴턴 기반의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 유도된 보간 기반을 부흐버거-몰러 알고리즘의 입력으로 사용할 경우, 타워 점의 직접 입력에 비해 감소 기반의 계산 속도가 얼마나 향상되는가?
• RQ4 타워 구조와 같은 특수 기하학을 가진 점들 주변에 보간 문제를 구조화함으로써 얻는 이론적 및 계산적 이점은 무엇인가?

주요 결과

• 타워 보간 점은 사전순 및 총차수 사전순 순서와 같은 표준 단항식 순서 하에서 차수 감소 기반의 모노미얼 및 뉴턴 기반을 이론적으로 도출할 수 있다.
• 유도된 보간 기반은 부흐버거-몰러 알고리즘의 입력으로 사용될 수 있으며, 타워 점의 직접 입력보다 감소 기반의 계산 속도가著로 향상된다.
• 실험 결과는 제안된 방법이 타워 점에 대해 부흐버거-몰러 알고리즘을 직접 적용하는 것보다 계산 속도 측면에서 뛰어나다는 것을 확인한다.
• 이 방법은 보간 기반과 관련 그로브너 기반을 구성하는 데 체계적인 접근법을 제공하며, 일반적인 다변수 보간 이론의 발전을 지원한다.