[논문 리뷰] Bivariate log-convexity of the more extended means and its applications

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 10.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 매개변수를 가진 동차 함수의 이변량 로그볼록성에 대해 연구하고, 이를 통해 확장된 평균, 즉 스톨라스키, 지니, 이중 매개변수 이디트릭, 헤로니안 평균의 로그볼록성 및 로그오목성 성질을 도출한다. 주요 기여는 이러한 평균들이 매개변수에 대해 $[0, \infty)^2$에서 이변량 로그오목성이고 $(-\infty, 0]^2$에서 로그볼록성임을 증명하는 것으로, 이는 평균에 대한 새로운 및 고전적 부등식을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper, the bivariate log-convexity of the two-parameter homogeneous function in parameter pair is vestigated. From this the bivariate log-convexity of the more extended means with respect to a parameter pair is solved. It follows that Stolarsky means, Gini means, two-parameter identric (exponential) means and two-parameter Heronian means are all bivariate log-concave on $\mathbb{[}0\mathbb{,\infty )}^{2}$ and log-convex on $% \mathbb{(-\infty ,}0\mathbb{]}^{2}$ with respect to parameters. Lastly, some classical and new inequalities for means are given.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 쌍에서 두 매개변수 동차 함수의 이변량 로그볼록성을 조사하기.
• 스톨라스키, 지니, 이디트릭, 헤로니안 등 더 넓은 평균의 매개변수에 대한 로그볼록성 및 로그오목성 성질을 수립하기.
• 로그볼록성 프레임워크를 통해 평균에 대한 새로운 및 고전적 부등식을 도출하기.
• 네 매개변수 동차 평균 구조를 통해 알려진 평균 부등식을 통합하고 일반화하기.
• 볼록성 기반의 경계를 통해 평균 비율을 체계적으로 추정하는 방법 제공하기.

제안 방법

• 로그적 평균과 이디트릭 평균을 사용하여 스톨라스키 및 지니 평균의 일반화로서 네 매개변수 동차 평균 $\boldsymbol{F}(p,q;r,s;a,b)$ 를 정의한다.
• 함수 $L(p,q)$, 즉 $p$와 $q$의 로그적 평균을 분석함으로써 두 매개변수 동차 함수 $\mathcal{H}_f(p,q;a,b)$ 의 이변량 로그볼록성을 확립한다.
• 로그볼록성 결과를 적용하여 평균의 가중 기하평균에 관한 부등식을 유도한다.
• 항등식 $\mathcal{H}_D(p,q;a,b) = e^{1/L(p,q)} S_{p,q}(a,b)$ 를 사용하여 스톨라스키 평균을 동차 함수 $\mathcal{H}_D$ 와 연결한다.
• 로그볼록성과 지수 및 로그 변환을 조합하여 평균 비율에 대한 이중 부등식을 유도한다.
• 일반 경계에 특정 매개변수 값을 대입하여 결과를 적용함으로써 새로운 부등식을 체계적으로 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 매개변수 동차 함수 $\mathcal{H}_f(p,q;a,b)$ 가 $(p,q)$ 에 대해 이변량 로그볼록성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{H}_f$ 의 로그볼록성 성질이 스톨라스키, 지니, 이디트릭, 헤로니안 평균 등의 특정 평균 가족으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 이러한 평균의 매개변수에 대한 이변량 로그볼록성으로부터 어떤 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 유도된 부등식은 스톨라스키-양 및 산도르-양과 같은 알려진 고전적 부등식과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 매개변수 기반 볼록성의 일반 프레임워크에서 새로운 부등식을 체계적으로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 스톨라스키, 지니, 이중 매개변수 이디트릭, 이중 매개변수 헤로니안 평균은 매개변수에 대해 $[0, \infty)^2$ 에서 이변량 로그오목성이고 $(-\infty, 0]^2$ 에서 로그볼록성이다.
• 모든 $a,b > 0$ 과 $\alpha, \beta > 0$ 이 $\alpha + \beta = 1$ 를 만족할 때 다음 부등식이 성립한다: $1 \leq \frac{S_{\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2}(a,b)}{S_{p_1,q_1}^\alpha(a,b) S_{p_2,q_2}^\beta(a,b)} \leq \exp\left(\frac{\alpha}{L(p_1,q_1)} + \frac{\beta}{L(p_2,q_2)} - \frac{1}{L(\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2)}\right)$.
• 유사한 이중 부등식이 지니 평균에도 적용되며, 다음이 성립한다: $1 \leq \frac{G_{\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2}(a,b)}{G_{p_1,q_1}^\alpha(a,b) G_{p_2,q_2}^\beta(a,b)} \leq \exp\left(\frac{\alpha}{L(p_1,q_1)} + \frac{\beta}{L(p_2,q_2)} - \frac{1}{L(\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2)}\right)$.
• 응용 4.3 을 통해 스톨라스키-양 부등식을 도출한다: $1 \leq I/A_{2/3} \leq \sqrt{8}e^{-1} \approx 1.0405$.
• 응용 4.4 는 새로운 부등식을 생성한다. 예를 들어 $16\sqrt{2}e^{-1}/9 \approx 0.9249 \leq I/A_{2/3}^3 He^{-2} \leq 1$.
• 다른 새로운 결과로는 $1 \leq I/\sqrt{I_{6/5} I_{4/5}} \leq e^{1/24} \approx 1.0425$ 이며, 이는 동일한 방식으로 멱지수 평균 $Z$ 에 대해서도 동일하게 성립한다.