[논문 리뷰] Black-Hole Approach to the Singular Problem of Quantum Mechanics. II

A. E. Shabad|ArXiv.org|2004. 03. 17.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 입자가 $ r^{-2} $ 포텐셜에 빠지는 단일 양자역학 문제에 블랙홀 유사 접근법을 제안한다. 원점은 물리적 방출/흡수 중심으로 간주된다. 해밀토니안을 특이 측도 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} = r^{-2}\mathrm{d}r $ 와 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $ 를 사용한 일반화된 고유값 문제로 재정의함으로써, 두 개의 자기수반 연산자를 통해 유한한 상태(구속)와 산산각산 상태(투과/반사)를 분류하고, Jost 함수를 통해 $ 2\times2 $ 유니터리 S행렬을 도출한다.

ABSTRACT

A new approach is proposed for the quantum mechanical problem of the falling of a particle to a singularly attracting center, basing on a black-hole concept of the latter. The singularity r^{-2} in the potential of the radial Schroedinger equation is considered as an emitting/absorbing center. The two solutions oscillating in the origin are treated as asymptotically free particles, which implies that the singular point r=0 in the Schroedinger equation is treated on the same physical ground as the singular point r=infinity. To make this interpretation possible, it is needed that the norm squared of the wave function should diverge when r tends to zero, in other words, the measure used in definition of scalar products should be singular in the origin. Such measure comes into play if the Schroedinger equation is written in the form of the generalized (Kamke) eigenvalue problem for either of two - chosen differently depending on the sign of the energy E - operators, other than Hamiltonian. The Hilbert spaces where these two operators act are used to classify physical states, which are: i) states of "confinement"- continuum of solutions localized near the origin, E<0 - and ii) the states corresponding to the inelastic process of reflection/transmission, i.e. to transitions in-between states localized near the origin and in the infinitely remote region, E>0. The corresponding unitary 2x2 S-matrix is written in terms of the Jost functions. The complete orthonormal sets of eigen-solutions of the two operators are found using "quantization in a box" (a,b), followed by the transition to the limit a=0, b=infinity. The corresponding expansions of the unity are written.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자역학이 특이한 $ r^{-2} $ 포텐셜에 빠지는 입자를 기술할 때 해밀토니안의 스펙트럼이 아래로 유계적이지 않아 발생하는 물리적 비일관성을 해결하기 위해.
• 특이점 $ r=0 $ 을 $ r=\infty $ 와 동일한 물리적 기준으로 취급하기 위해, 블랙홀과 유사하게 방출/흡수 중심으로 모델링하기 위해.
• 파동함수 $ r=0 $ 에서 진동하는 경우를 점점 자유 입자로 해석할 수 있도록 특이 측도 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} $ 와 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} $ 를 사용해 힐베르트 공간을 정의하기 위해.
• 두 개의 서로 다른 자기수반 연산자 $ H^{\mathrm{III}} $ 와 $ H^{\mathrm{IV}} $ 를 사용해 물리적 상태를 유한한 상태(구속, $ E<0 $)와 산산각산 상태(투과/반사, $ E>0 $)로 분류하기 위해.
• 상자 정규화 방법을 사용해 $ r_L \to 0 $, $ r_U \to \infty $ 일 때, Jost 함수를 사용해 유니터리 $ 2\times2 $ S행렬을 구성하고, 정규직교 고유함수 전개를 유도하기 위해.

제안 방법

• 에너지 $ E<0 $ 에 대해 $ H^{\mathrm{III}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) - k^2 $, 에너지 $ E>0 $ 에 대해 $ H^{\mathrm{IV}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) $ 를 사용하여 구면 슈뢰딩거 방정식을 일반화된 고유값 문제로 재구성하고, $ k^2 = E $ 라 정의한다.
• 특이 측도 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ 와 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}}(r) = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $ 를 도입하여, $ r=0 $ 에서 진동하는 파동함수의 노름이 유한해지도록 하는 내적을 정의한다.
• 경계 조건 $ r_L \to 0 $ 과 $ r_U \to \infty $ 에서 0 조건을 적용한 상자 정규화 방법을 사용해 정규직교 고유함수 집합을 구성한다.
• $ \xi = \mathrm{Im}\lambda \cdot \left( \ln r + \ln R \right) $ 를 통해 구면 문제를 $ \xi $-공간 문제로 변환하고, 양자수 $ \lambda $ 와 $ R $ 에 따라 정의된 고유함수 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda,R}(\xi) $ 가 $ \xi \to \pm\infty $ 에서 진동함을 보여, 자유입자 해석이 가능함을 보장한다.
• 고유함수 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ 를 사용해 $ \xi $-공간에서 항등원 전개와 일반화된 푸리에 급수를 유도하고, 계수는 $ \widetilde{F}(\xi) $ 에 대한 적분으로 주어진다.
• Jost 함수를 통해 $ 2\times2 $ S행렬을 구성하고, 유니터리성과 $ E>0 $ 인 산산각산 과정과의 일관성을 확보하며, 단위상 이완 $ \delta_1, \delta_2 $ 와 $ \varepsilon^{(j)} $ 를 통해 단위상 이완과 관련지어 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 포텐셜의 특이점 $ r=0 $ 을 블랙홀과 유사하게 방출/흡수 중심으로 취급할 수 있는가?
• RQ2 왜 $ r=0 $ 에서 진동하는 파동함수의 노름 발산 문제를 자유입자 해석과 조화시킬 수 있으며, 이를 가능하게 하는 측도는 무엇인가?
• RQ3 특이 포텐셜 문제에서 유한한 상태($ E<0 $)와 산산각산 상태($ E>0 $)에 대해 적절한 자기수반 연산자 표현은 무엇인가?
• RQ4 국소화된 상태와 비국소화된 상태 사이의 비탄성 전이를 묘사하기 위해 유니터리 $ 2\times2 $ S행렬을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 상자 정규화 방법을 사용해 특이한 극한 $ r_L \to 0 $, $ r_U \to \infty $ 에서 정규직교 고유함수 전개를 엄밀하게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 특이 측도 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ 는 $ r=0 $ 에서 진동하는 파동함수의 노름이 유한함을 보장하여, 이를 점점 자유입자로 해석할 수 있게 한다.
• 일반화된 고유값 문제를 통해 정의된 두 개의 연산자 $ H^{\mathrm{III}} $ 와 $ H^{\mathrm{IV}} $ 는 특이 측도를 사용하는 힐베르트 공간에서 자기수반 연산자를 유도하여, 표준 해밀토니안의 무한히 아래로 뻗어나가는 스펙트럼 문제를 피한다.
• $ E<0 $ 에서 스펙트럼은 이산적이며 구속 상태의 고유값을 나타내고, $ E>0 $ 에서는 연속적이며 투과/반사 상태를 묘사한다.
• $ \xi $-공간에서의 고유함수 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ 는 정규직교이며 완비 기저를 이룬다. 이는 임의의 $ L^2 $ 함수 $ \widetilde{F}(\xi) $ 를 일반화된 푸리에 급수로 전개할 수 있음을 의미한다.
• $ 2\times2 $ S행렬은 유니터리이며 Jost 함수로 표현되며, 단위상 이완은 $ \delta_1, \delta_2 $ 와 $ \varepsilon^{(j)} $ 를 통해 결정된다. 이는 양자역학적 산산각산 이론과의 일관성을 보장한다.
• $ \xi \to \pm\infty $ 에서 고유함수의 점점 행동은 에너지와 결합 상수에 따라 달라지는 단위상 이완을 가진 진동함을 보이며, $ r=0 $ 근처 상태의 자유입자 성격을 확인한다.