[논문 리뷰] Black-Scholes equation

N. Karjanto, Binur Yermukanova외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 13.

Financial Markets and Investment Strategies참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 금융 파생상품 가격 결정의 기초 모델로 여겨지는 블랙-쇼스 방정식을 다루며, 이의 이론적 의의와 해석적 해법을 상세히 기술한다. 닫힌 형태의 해법과 수치적 방법을 제시하여, 확률적 변동성 하에서 유럽식 복권의 가치 평가에서 이 방정식의 핵심적 역할을 입증한다.

ABSTRACT

This paper will discuss the importance of the Black-Scholes equation and its applications in finance. Also, the ways to solve the Black-Scholes equation will be discuss in length.

연구 동기 및 목표

• 현대 금융 공학에서 블랙-쇼스 방정식의 이론적 및 실용적 중요성을 확립하기 위해.
• 파생상품 가격 책정에서 블랙-쇼스 편미분방정식의 수학적 구조를 분석하기 위해.
• 이 방정식의 해석적 및 수치적 해법 기법을 검토하기 위해.
• 블랙-쇼스 방정식의 유럽식 옵션 가격 책정에 대한 적용을 설명하기 위해.
• 연구자 및 실무자들을 위한 해법 방법론에 대한 종합적인 개요를 제공하기 위해.

제안 방법

• 무위험 기회 원리와 이토의 보조정리로부터 블랙-쇼스 편미분방정식을 유도하기 위해.
• 변수 치환 기법을 적용하여 블랙-쇼스 PDE를 열 방정식으로 변환하기 위해.
• 표준 해석적 방법을 사용하여 변환된 열 방정식을 해결하기 위해.
• 변수의 역변환을 통한 옵션 가격 공식 재구성하기 위해.
• 닫힌 형태의 해법이 불가능한 경우 유한 차분 스킴과 같은 수치적 방법에 대한 논의를 위해.
• 핵심 해석적 결과로서 유럽형 콜 및 풋 옵션의 블랙-쇼스 공식을 제시하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙-쇼스 방정식은 연속시간 금융 모델링에서 어떤 이론적 기반을 지니는가?
• RQ2 블랙-쇼스 PDE는 어떻게 열 방정식으로 변환되어 표준 PDE 기법을 통해 정확한 해를 구할 수 있는가?
• RQ3 블랙-쇼스 공식이 정확한 옵션 가격을 도출할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 블랙-쇼스 방정식을 해결하기 위해 수치적 방법이 필요한 상황는 언제인가?
• RQ5 블랙-쇼스 모델은 실무에서 표준 유럽형 옵션의 가격 책정에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 블랙-쇼스 방정식은 일정한 변동성 하에서 유럽형 콜 및 풋 옵션에 대해 닫힌 형태의 해를 제공한다.
• 블랙-쇼스 PDE를 열 방정식으로 변환함으로써 표준 PDE 기법을 사용하여 정확한 해석적 해를 도출할 수 있다.
• 열 방정식의 해는 옵션 가격 책정을 위한 잘 알려진 블랙-쇼스 공식을 도출한다.
• 해석적 해법은 일정한 변동성과 배당금 없음의 가정 하에서 유효하다.
• 모델의 가정이 일정한 변동성과 같은 조건을 완화할 경우 수치적 방법이 필요하다.
• 단순화된 가정에도 불구하고 블랙-쇼스 모델은 금융 공학의 기초로 여전히 중심적인 역할을 한다.