[논문 리뷰] Blaschke-type conditions in unbounded domains, generalized convexity and applications in perturbation theory

S. Favorov, Leonid Golinskiĭ|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 19.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소평면 내 컴acts 집합에 대한 일반화된 볼록성 개념인 $r$-볼록성을 도입하여, 경계에 의해 제어되는 성장 조건을 갖는 비유계 영역에서의 조화함수에 대한 블라슈케 유형 조건을 수립한다. 이러한 결과를 샤텐–폰 노이만 섭동 이론에 적용하여, 스펙트럼 집합의 기하학적 구조와 섭동 강도에 따라 명시적인 감쇠률을 갖는 이산 스펙트럼 수렴 추정치를 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a new geometric characteristic of compact sets on the plane called $r$-convexity, which fits nicely into the concept of generalized convexity and extends essentially the conventional convexity. For a class of subharmonic functions on unbounded domains with $r$-convex compact complement, with the growth governed by the distance to the boundary, we obtain the Blaschke--type condition for their Riesz measures. The result is applied to the study of the convergence of the discrete spectrum for the Schatten--von Neumann perturbations of bounded linear operators in the Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• 비유계 영역에서 컴acts 보 complement를 갖는 기하학적 프레임워크를 개발하여 표준 볼록성의 일반화를 이루고, 경계에 의해 제어되는 성장 조건을 갖는 조화함수의 분석을 가능하게 한다.
• 컴 pact 보 complement가 $r$-볼록인 비유계 영역에서의 조화함수의 리에즈 측도에 대한 블라슈케 유형 조건을 수립한다.
• 얻어진 추정치를 샤텐–von Neumann 섭동 이론에 적용하여, 트레이스 클래스 또는 샤텐-$p$ 섭동 하에서 유계 선형 연산자의 이산 스펙트럼에 대해 적용한다.
• 스펙트럼의 기하학적 구조와 샤텐 노름 $\|B\|_{{\mathcal{S}}_q}$에 따라 본질 스펙트럼에서 떨어진 고유값의 정량적 감쇠 추정치를 제공한다.

제안 방법

• $r$-볼록성은 주어진 집합를 포함하는 반지름 $r$인 모든 닫힌 외부의 교집합으로 정의되며, 표준 볼록성의 일반화이다.
• 외부 이웃 영역 $\Omega_t = \{z : \text{dist}(z,E) > t\}$를 정의하고, $\psi(\text{dist}(z,E))$로 제어되는 성장 조건을 갖는 조화함수 분석을 위해 $\Omega_t$ 위의 그린 함수를 사용한다.
• 리에즈 분해 정리를 적용하여 조화함수를 조화함수와 리에즈 측도 $\mu = \frac{1}{2\pi}\Delta v$를 갖는 잠재력의 합으로 표현한다.
• 그린 함수와 리에즈 측도를 포함하는 핵심 적분 추정치를 유도하고, 이로부터 블라슈케 유형 조건 $\sum \Phi(\text{dist}(\lambda,E)) \leq C \|B\|_{{\mathcal{S}}_q}^q$를 이끌어낸다.
• 등각 사상과 변형 추정치를 사용하여 결과를 단위 원판에서 비유계 영역으로 이행하며, 특히 스펙트럼이 실수축 또는 단위 원에 있을 경우에 적용한다.
• 연산자 노름 $\|B\|$과 함수 $\Psi$에 따라 리에즈 측도의 지지 집합에 대한 경계를 확립하여 측도가 제어된 영역에 지지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록이지만 $r$-볼록인 컴 pact 보 complement를 갖는 비유계 영역에서 리에즈 측도에 대한 블라슈케 유형 조건을 수립할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼의 기하학적 구조—특히 $r$-볼록성—이 샤텐–von Neumann 섭동 하에서 이산 고유값의 감쇠 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 전통적인 등각 사상 접근법이 유한한 구간의 합집합 또는 단일 구간을 초월하여 잠재론적 방법을 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ4 고유값 감쇠 속도는 샤텐 노름 $\|B\|_{{\mathcal{S}}_q}$와 스펙트럼 집합의 민코프스키 차원에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ5 스펙트럼 변환에 관계없이 이산 스펙트럼에 대해 균일한 경계를 확보할 수 있는 스펙트럼 $\sigma(A_0)$의 기하학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $r$-볼록 컴 pact 집합 $E$에 대해, 성장 조건 $|\log|f(z)|| \leq K_f / \text{dist}^q(z,E)$를 갖는 조화함수에 대해 $\sum_{n}(1-|z_n|)\text{dist}^p(z_n,E) \leq C K_f$ 조건이 성립한다. 여기서 $p = \max(q + \kappa(E) - 1 + \varepsilon, 0)$이며, $\kappa(E)$는 $E$의 상한 민코프스키 차원이다.
• 비유계 영역 $\Omega = \overline{\mathbb{C}} \setminus E$ 위에서 $v(\infty) = 0$ 이고 $v(z) \leq K_v \psi(\text{dist}(z,E))$를 만족하는 조화함수 $v$의 리에즈 측도 $\mu$는 $\sum \Phi(\text{dist}(\lambda,E)) \leq C \|B\|_{{\mathcal{S}}_q}^q$를 만족하는 가중치 합산 조건을 갖는다. 이때 적절한 가중치 함수 $\Phi$가 존재한다.
• 실수 또는 유니터리 스펙트럼을 갖는 유계 연산자 $A_0$와 샤텐–$q$ 섭동 $B$에 대해, $\psi(t) = t^{-p}$ (여기서 $p > 0$) 이고 $q > 0$ 이면, 이산 스펙트럼 $\sigma_d(A)$는 $\sum_{\lambda \in \sigma_d(A)} d^{pq+1+\varepsilon}(\lambda) < \infty$ 를 만족한다.
• 힐버트–슈미트 섭동($q=2$)의 경우, $C^2$-연속 또는 BC-호를 갖는 정규 연산자에 대해, $\Phi(x) = x^{3+\varepsilon}$ ($x \leq 1$) 및 $x^{2-\varepsilon}$ ($x > 1$) 이면 $\sum \Phi(d(\lambda)) \leq C \|K\|_{{\mathcal{S}}_2}^2$ 이 성립한다.
• 리에즈 측도의 지지 집합은 $\|B\|$에 대해 균일하게 유계이며, 이는 이산 스펙트럼이 섭동 노름과 함수 $\Psi$에 따라 제어된 영역 내에 존재함을 보장한다.