[논문 리뷰] Blind Deconvolution Meets Blind Demixing: Algorithms and Performance Bounds

Shuyang Ling, Thomas Strohmer|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 24.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 34인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 단일 혼합 관측값에서 r개의 신호와 그에 해당하는 컨volution 필터를 동시에 복원하기 위한 새로운 프레임워크를 제안한다. 준거 프로그래밍을 사용한다. 현실적인 가정—예를 들어, 신호가 알려진 저차원 부분공간에 존재하고 필터의 지연 스프레드가 유한하다는 조건—하에, 측정 수 L가 $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $ 비례할 경우, 높은 확률로 강인하고 정확한 복원을 달성한다. 여기서 $ K $는 최대 지연 스프레드이고 $ N $은 부분공간 차원이다.

ABSTRACT

Suppose that we have $r$ sensors and each one intends to send a function $\boldsymbol{g}_i$ (e.g.\ a signal or an image) to a receiver common to all $r$ sensors. During transmission, each $\boldsymbol{g}_i$ gets convolved with a function $\boldsymbol{f}_i$. The receiver records the function $\boldsymbol{y}$, given by the sum of all these convolved signals. When and under which conditions is it possible to recover the individual signals $\boldsymbol{g}_i$ and the blurring functions $\boldsymbol{f}_i$ from just one received signal $\boldsymbol{y}$? This challenging problem, which intertwines blind deconvolution with blind demixing, appears in a variety of applications, such as audio processing, image processing, neuroscience, spectroscopy, and astronomy. It is also expected to play a central role in connection with the future Internet-of-Things. We will prove that under reasonable and practical assumptions, it is possible to solve this otherwise highly ill-posed problem and recover the $r$ transmitted functions $\boldsymbol{g}_i$ and the impulse responses $\boldsymbol{f}_i$ in a robust, reliable, and efficient manner from just one single received function $\boldsymbol{y}$ by solving a semidefinite program. We derive explicit bounds on the number of measurements needed for successful recovery and prove that our method is robust in the presence of noise. Our theory is actually sub-optimal, since numerical experiments demonstrate that, quite remarkably, recovery is still possible if the number of measurements is close to the number of degrees of freedom.

연구 동기 및 목표

• 추가 제약 조건 없이 단일 혼합 관측값에서 r개의 신호와 그들의 컨volution 필터를 동시에 복원하는 문제를 다루는 도전적인 문제를 해결한다. 이는 추가 제약 조건이 없이 매우 불안정한 문제이다.
• 기존 방법들이 다수의 수신 신호가 필요로 하는 한계를 극복하여, 단 한 개의 관측값으로도 복원을 가능하게 한다.
• 신호가 알려진 저차원 부분공간에 존재하고 필터의 지연 스프레드가 유한하다는 실용적인 가정 하에 복원 성능의 이론적 경계를 수립한다.
• IoT, 무선 통신, 영상 처리와 같은 실제 응용 분야에 적합한 노이즈에 대한 강인성과 확장성을 입증한다.
• 블라인드 디컨볼루션과 블라인드 데믹싱을 하나의 최적화 문제로 통합하는 프레임워크를 제공하며, 볼록 리 릴랙세이션을 통해 해결 가능하다.

제안 방법

• 각 신호 $ \boldsymbol{g}_i $ 를 알려진 $ N $-차원 부분공간에 존재한다고 모델링하며, $ \boldsymbol{g}_i = \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{x}_i $ 로 표현한다. 여기서 $ \boldsymbol{A}_i $ 는 $ L \times N $ 행렬이다.
• 공동 복원 문제를, 미지의 신호와 필터로부터 구성된 낮은 질서 행렬의 핵노름을 최소화하는 준거 프로그래밍(SDP)으로 공식화한다.
• 비볼록인 블라인드 디컨볼루션-데믹싱 문제를, 신호 및 필터 성분의 외적 곱을 나타내는 행렬 변수에 대한 볼록 최적화 문제로 변환하기 위해 리프팅 기법을 사용한다.
• 측정 행렬 $ \boldsymbol{A}_i $ 에 대한 局소 상호비일관성 조건을 통합하며, 이 조건은 $ \boldsymbol{A}_i $ 가 i.i.d. 가우시안 행렬일 경우 높은 확률로 만족된다.
• 저주파 성분을 모델링하기 위해 무작위 푸리에 유형의 행렬 구조를 적용하여, 비일관성 파라미터 $ \mu_h^2 $ 의 구조적 분석을 가능하게 한다.
• 측도 집중 및 무작위 행렬 이론을 활용하여, 준거 프로그래밍 설정 하에서 고확률 복원 보장을 이론적으로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 단일 혼합 관측값으로부터 r개의 신호와 그들의 컨volution 필터를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 고확률로 정확한 복원을 위해 필요한 최소 측정 수 $ L $ 는 얼마인가?
• RQ3 추가 노이즈가 존재할 경우 제안된 방법의 성능은 어떠하며, 변화에 대해 얼마나 강인한가?
• RQ4 기존 방법이 다수의 신호가 필요로 하는 것과는 달리, 단일 관측값에서만 가능하도록 복원 프레임워크를 확장할 수 있는가?
• RQ5 하나의 부분공간 구조와 비일관성은 최소 샘플링으로 복원을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 준거 프로그래밍은 제시된 가정 하에 단일 관측값 $ \boldsymbol{y} $ 로부터 모든 $ r $개의 신호 $ \boldsymbol{g}_i $ 와 그에 해당하는 필터 $ \boldsymbol{f}_i $ 를 높은 확률로 복원한다.
• 성공적인 복원을 위해 필요한 측정 수 $ L $ 은 $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $ 비례하며, 여기서 $ K $ 는 최대 지연 스프레드이고 $ \mu_h^2 $ 는 비일관성 파라미터이다.
• 수치 실험 결과, 자유도 수준에 가까운 $ L $ 에서도 복원이 가능함을 보여주며, 이는 이론적 경계가 최적은 아니지만 실제 적용에 매우 효과적임을 시사한다.
• 메서드는 추가 노이즈에 대해 강인하며, 이론적 보장에 의해 노이즈 조건 하에서도 안정적인 복원이 가능하다.
• 복원 결과는 전역 스케일링 불확실성 외에는 유일하다: 각 $ \boldsymbol{x}_i $ 를 $ c_i $ 로 곱하고 각 $ \boldsymbol{f}_i $ 를 $ 1/c_i $ 로 곱해도 관측 신호 $ \boldsymbol{y} $ 는 그대로 유지된다.
• 이 프레임워크는 오디오 처리, 영상 흐림 제거, 신경과학, 분광학, 미래의 IoT 시스템 등 신호 전송 오버헤드를 최소화해야 하는 다양한 분야에 적용 가능하다.