[논문 리뷰] Blind Deconvolutional Phase Retrieval via Convex Programming

Ali Ahmed, Alireza Aghasi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 21.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원형 컨볼루션의 위상 없는 푸리에 측정값으로부터 두 신호를 복원하는 블라인드 디컨볼루션 페이즈 리트리ieval을 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 이중 선형 컨볼루션 측정값을 매트릭스 복원 문제로 리프팅하고, 새로운 볼록 리 릴랙세이션을 적용함으로써, 두 신호가 각각 치수 $ k $ 및 $ n $ 인 알려진 랜덤 부분공간에 존재할 경우, $ m \gg (k+n)\log^2 m $ 측정값으로도 신호를 증명 가능하게 복원할 수 있으며, 초기화를 요구하지 않는다.

ABSTRACT

We consider the task of recovering two real or complex $m$-vectors from phaseless Fourier measurements of their circular convolution. Our method is a novel convex relaxation that is based on a lifted matrix recovery formulation that allows a nontrivial convex relaxation of the bilinear measurements from convolution. We prove that if the two signals belong to known random subspaces of dimensions $k$ and $n$, then they can be recovered up to the inherent scaling ambiguity with $m >> (k+n) \log^2 m$ phaseless measurements. Our method provides the first theoretical recovery guarantee for this problem by a computationally efficient algorithm and does not require a solution estimate to be computed for initialization. Our proof is based Rademacher complexity estimates. Additionally, we provide an ADMM implementation of the method and provide numerical experiments that verify the theory.

연구 동기 및 목표

• 두 신호의 원형 컨볼루션에 대한 위상 없는 푸리에 측정값으로부터 신호를 복원하는 불안정 문제를 다루기 위해.
• 초기 추측값이나 해 추정치가 필요 없는 계산적으로 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 볼록 리 릴랙세이션 접근법을 사용한 블라인드 디컨볼루션 페이즈 리트리ieval에 대한 이론적 복원 보장을 제공하기 위해.
• 신호가 알려진 저차원 부분공간에 존재할 경우 정확한 복원이 가능한 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 이중 선형 컨볼루션 측정값을 리프팅 매트릭스 공식을 사용하여 매트릭스 복원 문제로 변환한다.
• 비볼록 문제를 반정적계획형문제로 전환하기 위해 이중 선형 측정값에 새로운 볼록 리 릴랙세이션을 적용한다.
• 두 신호가 알려진 랜덤 부분공간에 존재한다고 가정하며, 알려진 행렬 $ \boldsymbol{B} \in \mathbb{H}^{m \times k} $ 및 $ \boldsymbol{C} \in \mathbb{H}^{m \times n} $ 를 통해 매개변수화한다.
• 결과로 생기는 볼록 프로그램을 효율적으로 해결하기 위해 ADMM 기반 구현을 사용한다.
• ADMM 스킴은 리프팅된 매트릭스 변수, 이중 변수, 그리고 음이 아닌 정부호 콘의 사영 단계를 포함한다.
• $ \boldsymbol{u} $-업데이트 단계는 KKT 조건을 통해 제약 최적화 문제를 해결하며, 각 성분에 대해 4차 다항식 방정식으로 감소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블라인드 디컨볼루션 페이즈 리트리ieval은 증명 가능한 복원 보장을 갖는 볼록 리 릴랙세이션으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 신호가 알려진 부분공간에 존재할 경우, 정확한 복원을 위해 필요한 위상 없는 푸리에 측정값의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 제안된 방법은 위상 없는 측정값을 가진 블라인드 디컨볼루션 문제에서 초기화가 필요 없어지는가?
• RQ4 이중 선형 컨볼루션의 구조는 복원 정밀도를 유지하면서 효과적으로 볼록 프로그램으로 리 릴랙세이션될 수 있는가?
• RQ5 라드마처 복잡도 프레임워크는 이 비선형, 이중 선형 측정 모델에서 이론적 복원 경계를 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 두 신호가 각각 치수 $ k $ 및 $ n $ 인 알려진 랜덤 부분공간에 존재할 경우, $ m \gg (k+n)\log^2 m $ 개의 위상 없는 푸리에 측정값으로부터 신호를 증명 가능하게 복원할 수 있다.
• 복원은 본질적인 스케일링 모호성까지 정확하며, 초기화가 필요하지 않다.
• 이론적 복원 보장은 라드마처 복잡도 추정을 통해 확립되었으며, 측정값 수에 대한 비점근적 경계를 제공한다.
• 수치 실험은 이론적 예측을 확인하였으며, 위상 정보가 없는 푸리에 측정값으로부터 흐린 이미지의 성공적인 복원을 보여준다.
• ADMM 구현은 반정적계획형문제를 효율적으로 해결하며, 각 $ \boldsymbol{u} $-업데이트는 KKT 조건에서 유도된 4차 다항식 방정식을 통해 해결된다.
• 이 방법은 위상 정보가 손실되는 X선 결정학, 회절 영상 촬영, 가시광선 통신 등의 애플리케이션에서 복원을 가능하게 한다.