[논문 리뷰] Block Backstepping for Isotachic Hyperbolic PDEs and Multilayer Timoshenko Beams

Guangwei Chen, Rafael Vázquez외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 17.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동속도 초월 편미분방정식(PDE)에 대해 블록 백스테핑 설계를 제안한다—여기서 여러 상태가 동일한 운반 속도를 공유한다—이를 통해 제어되지 않는 경계에서 반다임프팅 및 반스티프닝을 가진 N층 티모셴코 빔의 빠른 안정화를 가능하게 한다. 린만 변환을 통해 빔 모델을 1차원 초월 편미분방정식-상미분방정식(PIDE-ODE) 시스템으로 변환하고, 블록 백스테핑을 적용함으로써 제어 매개변수를 통해 조절 가능한 지수 감쇠율을 가진 임의의 빠른 $L^2$-안정성을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the rapid stabilization of N-layer Timoshenko composite beams with anti-damping and anti-stiffness at the uncontrolled boundaries. The problem of stabilization for a two-layer composite beam has been previously studied by transforming the model into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE form and then applying backstepping to this new system. In principle this approach is generalizable to any number of layers. However, when some of the layers have the same physical properties (as e.g. in lamination of repeated layers), the approach leads to isotachic hyperbolic PDEs (i.e. where some states have the same transport speed). This particular yet physical and interesting case has not received much attention beyond a few remarks in the early hyperbolic design. Thus, this work starts by extending the theory of backstepping control of (m + n) hyperbolic PIDEs and m ODEs to blocks of isotachic states, leading to a block backstepping design. Then, returning to multilayer Timoshenko beams, the Riemann transformation is used to transform the states of N-layer Timoshenko beams into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE system. The block backstepping method is then applied to this model, obtaining closed-loop stability of the origin in the L2 sense. An arbitrarily rapid convergence rate can be obtained by adjusting control parameters. Finally, numerical simulations are presented corroborating the theoretical developments.

연구 동기 및 목표

• 여러 상태가 동일한 운반 속도를 공유하는 동속도 초월 편미분방정식에 대한 체계적 제어 설계 부족 문제를 해결한다—이러한 경우는 반복적인 층을 가진 다층 구조에서 흔하다.
• 기존의 일반 백스테핑 설계가 서로 다른 운반 속도를 가정하는 데에 한계가 있으므로, 동속도 상태 블록을 다룰 수 있도록 백스테핑 방법론을 확장한다.
• 제어되지 않는 경계에서 반다임프팅 및 반스티프닝을 가진 N층 티모셴코 빔을 경계 피드백 제어를 통해 안정화한다.
• 새로운 블록 백스테핑 프레임워크를 통해 다층 빔의 임의의 빠른 안정화(사용자 정의된 감쇠율을 가진 지수 감쇠)를 달성한다.
• 특정 감쇠율과 커널 계산을 포함한 두 층 빔에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 제어기의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• N층 티모셴코 빔 모델을 린만 변환을 통해 $ (m+n) $ 개의 초월 편미분방정식(PIDE)과 $ m $ 개의 상미분방정식(ODE)을 가진 1차원 초월 편미분방정식-상미분방정식(PIDE-ODE) 시스템으로 변환한다.
• 각 블록 내 상태가 동일한 운반 속도를 공유하는 동속도 블록으로 시스템을 대각화함으로써 블록 백스테핑 설계를 개발한다.
• 원래 시스템을 원하는 안정성 특성을 가진 목표 시스템으로 매핑하기 위해 블록 구조를 가진 커널 함수를 가진 볼테라 유형의 변환을 구성한다.
• 블록 구조로 인한 커널 내 불연속성 포함, 삼각형 영역을 가진 48개의 결합된 커널 방정식 시스템을 유도하고, 거듭제곱 급수 방법을 사용하여 해를 구한다.
• 경계에서의 변환 커널 값들을 사용하여 경계 피드백 제어기를 설계하며, 각 층의 끝에서 힘과 토크에 대해 독립적인 구동을 수행한다.
• 초기 이득 행렬 $ oldsymbol{ ilde{ heta}}(0) $를 통해 설정된 감쇠율 $ C_2 = 6 $을 만족시키는 조건을 확인함으로써, 변환이 목표 시스템의 안정성 조건을 만족함을 보장하여 닫힌 루프 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 여러 상태가 동일한 운반 속도를 공유하는 시스템에 대해 백스테핑 제어를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 블록 백스테핑 프레임워크는 제어되지 않는 경계에서 반다임프팅 및 반스티프닝을 가진 N층 티모셴코 빔을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ3 린만 변환은 다층 티모셴코 빔에 대한 백스테핑 적용을 가능하게 하는 데에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제어기 매개변수 조정을 통해 이러한 시스템에서 임의의 빠른 안정화를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ5 동속도 시스템의 커널 방정식을 푸는 데 발생하는 수치적 과제는 무엇이며, 이를 어떻게 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 블록 백스테핑 방법은 제어되지 않는 경계에서 반다임프팅 및 반스티프닝을 가진 N층 티모셴코 빔을 성공적으로 안정화시키며, 원점에 대한 $ L^2 $-안정성을 달성한다.
• 닫힌 루프 시스템은 사용자 정의된 감쇠율을 가진 지수 감쇠를 보이며, $ oldsymbol{ ilde{ heta}}(0) $를 특정 값으로 설정함으로써 감쇠율 $ C_2 = 6 $을 달성하였다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 결과를 확인한다: 개방 루프 상태는 발산하는 반면, 닫힌 루프 상태는 시간이 지남에 따라 0으로 수렴한다.
• 블록 구조로 인해 선을 따라 불연속성이 발생하는 $ i,j = 1,2,3,4 $에 대한 이득 커널 $ K_{ij}(1,y) $ 및 $ L_{ij}(1,y) $ 가 계산되었으며, 영역 분할이 필요하다.
• 제어기는 각 층의 경계에서 힘과 토크를 독립적으로 제어해야 하며, 이는 빠른 안정화에 필수적이며 단일 공통 액추에이터로는 달성할 수 없다.
• 변환 커널 행렬 $ oldsymbol{ ilde{ heta}}(1) $ 는 특정 항목을 가진 4×4 행렬로 계산되었으며, 제어기 설계의 실현 가능성을 확인한다.