[논문 리뷰] Blocks for mod $p$ representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 절대적으로 기약인 mod $p$ 표현 간의 비분할 확장이, 주로 급수와 대칭 거듭제곱 표현에서 유도된 단위 바나흐 공간 표현의 mod $p$ 환원에서 부분여약수로 나타남을 확립한다. 핵심 기여는 비분할 확장에 대한 동치관계(블록)를 베르제르-브뤼엘 이론을 이용해 분류한 것으로, $p=2$에 대한 새로운 결과와 모든 $p$에 대해 통일된 증명을 제공한다. 블록은 주로 급수, 스텐버그, 특수 급수 표현을 통해 명시적으로 기술되며, $p$와 중심 문자에 따라 경우가 나뉜다.

ABSTRACT

Let $π_1$ and $π_2$ be absolutely irreducible smooth representations of $G=GL_2(Q_p)$ with a central character, defined over a finite field of characteristic $p$. We show that if there exists a non-split extension between $π_1$ and $π_2$ then they both appear as subquotients of the reduction modulo $p$ of a unit ball in a crystalline Banach space representation of $G$. The results of Berger-Breuil describe such reductions and allow us to organize the irreducible representation into blocks. The result is new for $p=2$, the proof, which works for all $p$, is new.

연구 동기 및 목표

• 절대적으로 기약인 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 매끄러운 mod $p$ 표현 블록을 비분할 확장에 대해 분류하는 것.
• 비영인 $\mathrm{Ext}^1$을 가진 모든 표현 쌍이 단위 바나흐 표현의 mod $p$ 환원에서 부분여약수로 나타남을 보이는 것.
• $p=2$의 경우는 이전에 미해결이었으나, 모든 $p$에 대해 유효한 통일된 방법을 사용해 블록 분류를 확장하는 것.
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 mod $p$ 표현의 구조를 베르제르-브뤼엘 이론에 기반한 크리스탈린 바나흐 표현의 환원을 통해 블록으로 정리하는 것.

제안 방법

• 형식 $\mathrm{Ind}_B^G(\chi_1 \otimes \chi_2|\cdot|^{-1})_{\mathrm{sm}} \otimes \det^l \otimes \mathrm{Sym}^{k-1}L^2$의 표현에 대한 유일한 단위 완비화를 구성하는 것.
• 이 바나흐 표현 내의 열린 유계 $G$-불변 격자를 고려하고 $\varpi$를 모듈로로 나누어 mod $p$ 표현을 얻는 것.
• 베르제르-브뤼엘 분류를 이용해 이 환원의 준단순화 $\overline{\Pi}^{ss}$ 를 기술하는 것.
• 편합 표현 이론과 $\mathrm{Ext}^1$-류를 적용하여, 두 절대적으로 기약인 mod $p$ 표현 간의 비분할 확장이 반드시 이러한 환원에서 유래됨을 보이는 것.
• 비영인 $\mathrm{Ext}^1$을 통해 불가약한 적합한 mod $p$ 표현 간의 동치관계를 정의하고, 이에 따라 블록을 동치류로 정의하는 것.
• 불가약한 매끄러운 mod $p$ 표현의 분류(바르텔-리브네, 브뤼엘)를 이용해 가능한 모든 블록을 열거하고, $p$와 특수 또는 초기본 표현의 존재 여부에 따라 경우를 나누는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 두 절대적으로 기약인 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 mod $p$ 표현 쌍이 비분할 확장을 가질 수 있는가?
• RQ2 그러한 비분할 확장은 단위 바나흐 공간 표현의 mod $p$ 환원에서 부분여약수로 실현될 수 있는가?
• RQ3 특히 $p=2$일 때, $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 mod $p$ 표현에 대한 블록—비분할 확장에 대한 동치류—의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 블록은 중심 문자와 잔여체 $k$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 크리스탈린 표현의 mod $p$ 환원에 대한 베르제르-브뤼엘 이론이 모든 이러한 블록을 분류하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• $p=2$일 때, 블록 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}\} \otimes \delta \circ \det$ 는 단위 바나흐 표현의 mod $p$ 환원에서 부분여약수로 실현된다.
• $p \geq 5$일 때, 블록 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, (\mathrm{Ind}_B^G(\omega \otimes \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}}\} \otimes \delta \circ \det$ 는 동일한 방식으로 유래된다.
• $p=3$일 때, 블록 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, \omega \circ \det, \mathrm{Sp} \otimes \omega \circ \det\} \otimes \delta \circ \det$ 는 동일한 방식으로 실현된다.
• $p>2$일 때, 블록 $\{ (\mathrm{Ind}_B^G(\delta \otimes \delta \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}} \}$ 는 주로 급수 표현의 특수화로 나타난다.
• 블록의 분류는 완전하며, $p$, 중심 문자, 그리고 단위 바나흐 표현의 mod $p$ 환원의 구조에 따라 달라진다.
• $p=2$에 대해 새로운 결과이며, 증명은 모든 $p$에 대해 통일적으로 적용되어 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$의 mod $p$ 표현에 대한 통일된 블록 분류를 제공한다.