[논문 리뷰] Blow-up criterion, ill-posedness and existence of strong solution for Korteweg system with infinite energy

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 16.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 초기 밀도가 불연속일 수 있는 조건 하에서 무한 에너지와 함께 코르티제프 시스템에 대한 강한 해의 존재성을 확립한다. 특히 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 인 경우에 대해 다루며, $\varepsilon > 0$ 일 때 $\frac{1}{\rho}$ 를 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 에서 제어하는 방식으로 새로운 폭발 기준을 제안한다. 이는 해의 유한 시간 연장 가능성을 보장하며, 특정 영역에서는 해가 잘 정의되지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We will prove the existence of strong solutions in finite time with discontinuous initial density, more precisely $\lnρ_{0}$ is in $B^{\N}_{2,\infty}(\R^{N})$. Our analysis improves the results of \cite{fDD} and \cite{fH1}, \cite{fH2} by working in space of infinite energy. In passing our result allow to consider initial data with discontinuous interfaces, whereas in all the literature the results of existence of strong solutions consider always initial density that are continuous. More precisely we investigate the existence of strong solution for Korteweg's system when we authorize jump in the pressure across some hypersurface. We obtain also a result of ill-posedness for Korteweg system and we derive a new blow-up criterion which is the main result of this paper. More precisely we show that if we control the vacuum (i.e $\frac{1}ρ\in L^{\infty}_{T}(\dot{B}^{0}_{N+\e,1}(\R^{N}))$ with $\e>0$) then we can extend the strong solutions in finite time. It extends substantially previous results obtained for compressible equations.

연구 동기 및 목표

• 초기 자료가 무한 에너지 공간에 속할 경우, 코르티제프 시스템에 대한 강한 해의 존재성을 확립하는 것. 특히 $\\ln\rho_0 \in B^{\\frac{N}{2}}_{2,\\infty}(\mathbb{R}^N)$ 인 경우에 대해 다룬다.
• 초기 밀도가 불연속적일 수 있도록 허용하고, 초면을 따라 압력의 점프를 허용함으로써 이전 연구에서 요구하던 연속적 初기 밀도의 제약을 극복하는 것.
• 특정 조건 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\frac{1}{\rho}$ 를 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 에서 제어하는 방식으로 새로운 폭발 기준을 유도함으로써, 강한 해의 유한 시간 연장 가능성을 확보하는 것.
• 초기 자료의 정(regularity)이 충족되지 않을 경우 코르티제프 시스템이 어떻게 잘 정의되지 않는지를 입증함으로써, 해의 민감성이 초기 자료의 정(regularity)에 얼마나 의존하는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 비판적 베소프 공간 $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{0}_{p,\infty})$ 와 $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{1}_{p,\infty})$ 에서 분석을 수행하며, $p = N + \frac{\varepsilon}{2}$ 인 경우에 대해 무한 에너지 초기 자료를 허용한다.
• 밀도의 로그 기울기를 제어하기 위해, $\|\nabla\ln\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{p_2,\infty})} \leq C(1 + \|\frac{1}{\rho} - 1\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})})\|\nabla\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(B^{0}_{p,\infty})}$ 를 유도하는 것이 핵심 단계이다.
• 속도와 밀도의 동역학을 분리하기 위해 변환 $u = v - \frac{\kappa}{\mu}\nabla\ln\rho$ 를 활용함으로써, $u$ 가 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ 에서 제어 가능하게 한다.
• 운동량 방정식에서의 사전 에너지 추정을 유도함으로써, $\Pi(\rho)$ 와 캡일라리 텀 $\frac{\kappa(\rho)}{2}|\nabla\rho|^2$ 을 포함하는 자유 에너지 기능을 사용하여, 초기 에너지 제어 하에 유한성을 확보한다.
• 만약 $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 이고 $\varepsilon > 0$ 이라면, 강한 해가 임의의 시간 $T$ 이후로도 연장 가능하다는 것을 보여줌으로써 폭발 기준을 확립한다.
• 초기 자료가 충분한 정(regularity)이 없을 경우 비판적 공간에서 연속적인 의존성의 실패를 분석함으로써, 잘 정의되지 않음을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 불연속적일 경우, 즉 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 일 때, 무한 에너지의 맥락에서 코르티제프 시스템에 강한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 유한 시간 $T$ 이후 강한 해를 연장하기 위해 $\frac{1}{\rho}$ 가 얼마나 낮은 정(regularity)을 가져야 하는가?
• RQ3 초면을 따라 압력의 점프가 존재할 경우, 해의 잘 정의됨과 정(regularity)에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 초기 자료가 특정 비판적 정(regularity) 조건을 충족하지 못할 경우, 코르티제프 시스템이 어떤 의미에서 잘 정의되지 않는가?
• RQ5 특정 조건 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\frac{1}{\rho}$ 가 $\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1}$ 에서 적분 가능할 경우, 이를 기반으로 새로운 폭발 기준을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 인 경우 비록 초기 밀도가 불연속적이어도 비판적 베소프 공간에서 코르티제프 시스템에 대한 강한 해의 존재성을 입증하며, 이는 이전 연구에서 연속적 초기 밀도를 요구했던 것을 초월한다.
• 새로운 폭발 기준을 확립한다: 만약 $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 이고 $\varepsilon > 0$ 이라면, 강한 해는 임의의 시간 $T$ 이후로도 연장 가능하며, 이는 해의 유한 시간 존재성을 보장한다.
• 해는 $u \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ 와 $\ln\rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ 를 만족함으로써, 비판적 공간에서의 정(regularity)을 확인한다.
• 모든 $1 \leq p < \infty$ 에 대해 $\rho^{1/p}v \in L^\infty_T(L^p)$ 를 만족함을 보여, 속도가 $L^p$-유형 노름에서 적분 가능하고 유계임을 시사한다.
• 초기 자료가 요구되는 비판적 정(regularity) 조건을 충족하지 못할 경우 코르티제프 시스템이 잘 정의되지 않음을 입증하며, 이는 $\frac{1}{\rho}$ 제어 조건이 필수적임을 강조한다.
• capillarity 텐서는 $\kappa(\rho) = \frac{\kappa}{\rho}$ 일 때 $\mathrm{div}K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla\nabla\ln\rho)$ 로 재기록될 수 있으며, 이는 시스템의 역학에 대한 새로운 구조적 통찰을 제공한다.