[논문 리뷰] Blow-up of the radially symmetric solutions for the quadratic nonlinear Schrödinger system without mass-resonance

Takahisa Inui, Nobu Kishimoto외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 22.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 질량 공진 조건 $\kappa=1/2$ 가 성립하지 않을 때, 차수 $d=5,6$ 에서 이차 비선형 슈뢰딩거 시스템의 구면 대칭 해에 대해 유한 시간 내 폭발을 확립한다. 비르발 유형 항등식과 변분적 고려를 통해, 음의 에너지와 음의 포호자예프 함수가 성립할 경우 해는 반드시 유한 시간 내에 폭발함을 증명하며, 이는 기존의 질량 공진 영역을 초월한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider the quadratic nonlinear Schrödinger system \begin{align*} \begin{cases} i\partial_t u +Δu =v \overline{u},\\ i\partial_t v +κΔv =u^2, \end{cases} ext{ on } I imes \mathbb{R}^d, \end{align*} where $1\leq d \leq 6$ and $κ>0$. In the lower dimensional case $d=1,2,3$, it is known that the $H^1$-solution is global in time. On the other hand, there are finite time blow-up solutions when $d=4,5,6$ and $κ=1/2$. The condition of $κ=1/2$ is called mass-resonance. In this paper, we prove finite time blow-up under radially symmetric assumption when $d=5,6$ and $κ eq 1/2$ and we show blow-up or grow-up when $d=4$.

연구 동기 및 목표

• 이차 비선형 슈뢰딩거 시스템의 구면 대칭 해의 폭발 행동을 $\kappa \neq 1/2$ 인 경우, 특히 $L^2$-초임계 영역인 $d=5,6$ 에서 조사하는 것.
• 이전에 질량 공진 조건 ($\kappa=1/2$) 에서만 알려진 폭발 결과를 비공진 조건으로 확장하는 것.
• 질량 공진 조건이 없더라도, $d=4$ 에서 에너지 및 포호자예프 함수 조건 하에 폭발 또는 성장 기준을 설정하는 것.
• 질량 공진 조건이 성립하지 않을 경우 발생하는 비물리적 항이 비르발 항등식에 추가되어 기존 폭발 증명 기법을 방해하는 문제를 극복하는 것.

제안 방법

• 기울기의 $L^2$-노름의 진동을 추적하기 위해 포호자예프 함수 $K(u,v)$ 를 포함한 수정된 비르발 항등식을 유도한다.
• 절단 함수 $\chi_R(x)$ 를 통한 가중치가 부여된 $L^2$-노름을 적용하여 비르발 양을 국소화하고 오차 항을 통제한다.
• 에너지 및 질량 보존 법칙을 적용하여 비르발 양의 성장을 바ounds하고 미분 부등식을 도출한다.
• 기울기 상태를 특성화하고 $L^2$-임계 ($d=4$) 및 $\dot{H}^{1/2}$-임계 ($d=5$) 경우에 대해 날카로운 부등식을 확립하기 위해 변분적 고려를 사용한다.
• 해의 행동을 통제하고 비르발 양의 시간에 따른 양수성을 보장하기 위해 구면 대칭 조건을 도입한다.
• 전역 존재성과 기울기 유계성 가정을 통해 모순을 유도하며, 이는 시간이 지남에 따라 비르발 양이 무한히 증가함을 의미하며, 이는 유한 시간 폭발을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량 공진 조건이 아닐 때, $d=5,6$ 에서 이차 NLS 시스템의 구면 대칭 해에 대해 유한 시간 폭발을 증명할 수 있는가?
• RQ2 $\kappa \neq 1/2$ 인 경우, $L^2$-임계 영역인 $d=4$ 에서 해의 역학적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 질량 공진 조건이 없을 경우 비르발 항등식과 폭발 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비공진 영역에서 폭발을 특성화하는 데 포호자예프 함수 $K(u,v)$ 를 사용할 수 있는가?
• RQ5 $E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ 와 $K(u_0,v_0)<0$ 를 기반으로 한 폭발 기준을 $\kappa \neq 1/2$ 로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• $d=5,6$ 이고 $\kappa \neq 1/2$ 인 경우, $E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ 이며 $K(u_0,v_0) < 0$ 라면 구면 대칭 해는 유한 시간 내에 폭발한다. 이는 이전 결과를 비공진 영역으로 확장한 것이다.
• $L^2$-임계 영역인 $d=4$ 에서는, $E(u_0,v_0)M(u_0,v_0) < E(\phi,\psi)M(\phi,\psi)$ 이며 $K(u_0,v_0) < 0$ 라면 질량 공진 조건이 없더라도 해는 폭발하거나 성장 행동를 보임을 증명한다.
• 비공진 항 $\kappa \neq 1/2$ 를 고려하기 위해 비르발 항등식이 수정되었으며, 그로 인한 오차 항은 구면 대칭성과 절단 함수를 통해 통제된다.
• 전역 존재성과 기울기 유계성 가정을 통해 모순을 도출하였으며, 이는 비르발 양이 시간이 지남에 따라 무한히 증가함을 의미하며, 이는 유한 시간 폭발을 암시한다.
• 기본 상태 해 $(\phi,\psi)$ 는 변분적 방법을 통해 특성화되었으며, 에너지와 질량을 기본 상태 값과 연결하기 위해 날카로운 가가르도-니레버그 부등식이 사용되었다.
• 증명은 비르발 양 $J(t)$ 의 양수성과 미분 부등식 $A \xi(t)^2 \leq \xi'(t)$ 에 의존하며, 이는 해가 전역적으로 존재할 경우 $t \to \infty$ 에서 모순을 유도한다.