[논문 리뷰] Blow up profiles for a reaction-diffusion equation with critical weighted reaction

Razvan Gabriel Iagar, Ariel Sánchez|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 03.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 27인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 반응-확산 방정식 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ 에서 임계 가중 반응 항을 갖는 자기유사 폭발 프로파일을 분류하며, $ \sigma > 0 $ 이 작을 경우 유한한 점에서 인터페이스를 가진 컴팩트한 지지 집합을 갖는 프로파일이 존재하고, $ \sigma $ 가 클 경우 그러한 프로파일이 존재하지 않음을 보여준다. 핵심 결과는 가중치의 영향으로 인해 존재성에 대한 날카운 전이가 발생하며, 모든 $ \sigma > 0 $ 에 대해 전체 실수선에서 양수인 폭발 프로파일은 존재할 수 없다.

ABSTRACT

We classify the blow up self-similar profiles for the following reaction-diffusion equation with weighted reaction $$ u_t=(u^m)_{xx} + |x|^{\sigma}u^m, $$ posed for $(x,t)\in eal imes(0,T)$, with $m>1$ and $\sigma>0$. In strong contrast with the well-studied equation without the weight (that is $\sigma=0$), on the one hand we show that for $\sigma>0$ sufficiently small there exist \emph{multiple self-similar profiles with interface} at a finite point, more precisely, given any positive integer $k$, there exists $\delta_k>0$ such that for $\sigma\in(0,\delta_k)$, there are at least $k$ different blow up profiles with compact support and interface at a positive point. On the other hand, we also show that for $\sigma$ sufficiently large, the blow up self-similar profiles with interface \emph{cease to exist}. This unexpected balance between existence of multiple solutions and non-existence of any, when $\sigma>0$ increases, is due to the effect of the presence of the weight $|x|^{\sigma}$, whose influence is the main goal of our study. We also show that for any $\sigma>0$, there are no blow up profiles supported in the whole space, that is with $u(x,t)>0$ for any $x\in eal$ and $t\in(0,T)$.

연구 동기 및 목표

• 무한한 가중치 $ |x|^\sigma $ 가 $ m = p $ 인 반응-확산 방정식의 폭발 행동에 어떻게 영향을 미치는지 이해하고, 비가중치 경우와 대비한다.
• 방정식 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ 에 대한 자기유사 폭발 프로파일을 분류하며, 특히 컴팩트한 지지 집합과 유한한 점에서의 인터페이스를 갖는 프로파일을 중심으로 한다.
• 인터페이스를 갖는 양호한 프로파일의 존재성과 비존재성을 $ \sigma $ 매개변수에 따라 규명하고, 임계 임계값을 식별한다.
• 모든 $ \sigma > 0 $ 에 대해 전체 실수선에서 양수인 폭발 프로파일이 존재하지 않음을 증명하여 전역 지지의 가능성을 배제한다.
• 관련된 ODE의 위상공간 구조를 분석하여 $ \xi = 0 $ 근처와 인터페이스 점에서의 해의 행동을 규명한다.

제안 방법

• 프로파일 $ f $ 를 갖는 자기유사 해 $ u(x,t) = (T - t)^{-\alpha} f(\xi) $, $ \xi = |x|(T - t)^\beta $ 의 형태를 사용하여 PDE 를 ODE 로 감소시킨다.
• 자기유사 프로파일을 지배하는 ODE $ (f^m)''(\xi) - \frac{1}{m-1}f(\xi) + \xi^\sigma f^m(\xi) = 0 $ 을 유도한다.
• 해의 행동을 분석하기 위해 등가의 1차 체계에 대한 위상공간 분석을 적용하여 $ \xi = 0 $ 근처와 $ f(\eta) = (f^m)'(\eta) = 0 $ 인 인터페이스 점에서의 해의 행동을 연구한다.
• 비교 원리와 에너지 유형 추정을 사용하여 위상공간 내에서 초원형 $ (m-1)Y + \sigma X = 0 $ 과의 첫 번째 교차점에 대한 경계를 설정한다.
• 원점에서의 전진 사 Shoot 및 인터페이스 점에서의 후진 사 Shoot 을 수행하여 프로파일이 연결될 수 있는 $ \xi $ 의 범위를 추정한다.
• 양방향 사 Shoot 궤적의 만남이 불가능한 조건을 도출하여, $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ 인 경우 인터페이스 프로파일의 비존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치 $ |x|^\sigma $ 가 컴팩트한 지지 집합과 유한한 점에서의 인터페이스를 갖는 자기유사 폭발 프로파일의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 자기유사 프로파일이 인터페이스를 갖지 않는 임계값 $ \sigma $ 는 무엇이며, 이 값은 $ m $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 왜 프로파일의 수가 $ \sigma $ 가 감소함에 따라 증가하는가? 이러한 다중성의 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 자기유사 폭발 프로파일이 $ \mathbb{R} $ 전역에서 양수일 수 있는가? 만약 불가능하다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ5 프로파일 $ f $ 를 지배하는 ODE 의 위상공간 구조는 $ \sigma $ 가 변화함에 따라 어떻게 변하며, 이는 해의 행동에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 모든 $ \sigma > 0 $ 에 대해 전체 실수선에서 양수인 자기유사 폭발 프로파일이 존재하지 않으며, 이는 전역 지지 폭발 프로파일이 존재하지 않음을 의미한다.
• 충분히 작은 $ \sigma $ 에 대해, 즉 임의의 $ k \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ \sigma \in (0, \delta_k) $ 이면, 적어도 $ k $ 개의 서로 다른 컴팩트 지지 집합과 양의 점에서의 인터페이스를 갖는 자기유사 프로파일이 존재한다.
• $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ 인 경우, 인터페이스를 갖는 자기유사 프로파일이 존재하지 않으며, 이는 가중치의 영향으로 인해 해 구조에 날카운 전이가 발생함을 나타낸다.
• 원점에서 사 Shoot을 수행할 경우, 위상공간 내에서 프로파일이 임계 초원형과 첫 번째로 교차하는 점은 $ \xi \leq \xi_+ = \left[ \frac{4m^2(m+1)}{(2m+1)(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $ 에서 발생한다.
• 인터페이스 점에서 후진 사 Shoot을 수행할 경우, 마지막으로 초원형과 교차하는 점은 $ \xi \geq \xi_- = \left[ \frac{(m+1)\sigma^2}{2m(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $ 에서 발생한다.
• $ \xi_- > \xi_+ $ 인 경우, 즉 $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ 인 경우, 전진 및 후진 사 Shoot 궤적이 만날 수 없으며, 이는 큰 $ \sigma $ 에서 인터페이스 프로파일의 비존재성을 증명한다.