[논문 리뷰] Blow-ups and resolutions of strong Kähler with torsion metrics

Anna Fino, Адриано Томассини|ArXiv.org|2008. 04. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 복소구조의 미소 변형, 블로우업, 해소에 대해 강한 Kähler with torsion (strong KT) 구조의 거동을 조사한다. 강력한 KT 메트릭에 대한 Miyaoka 유형의 확장 정리를 수립하여, 한 점을 제외한 복소다양체가 강력한 KT 메트릭을 갖는다면 전체 다양체 역시 강력한 KT 메트릭을 갖는다는 것을 증명한다. 주요 기여는 복소 오비폴드가 강력한 KT 메트릭을 갖는다면 반복 블로우업을 통해 강력한 KT 해소를 갖는다는 것을 보여주며, 새로운 컴팩트하고 단순연결된 강력한 KT 다양체를 얻는다.

ABSTRACT

On a compact complex manifold we study the behaviour of strong Kähler with torsion (strong KT) structures under small deformations of the complex structure and the problem of extension of a strong KT metric. In this context we obtain the analogous result of Miyaoka extension theorem. Studying the blow-up of a strong KT manifold at a point or along a complex submanifold, we prove that a complex orbifold endowed with a strong KT metric admits a strong KT resolution. In this way we obtain new examples of compact simply-connected strong KT manifolds.

연구 동기 및 목표

• 강력한 KT 구조가 복소다양체의 복소구조에 대한 미소 변형에 대해 어떻게 안정적인지 조사한다.
• 한 점을 제외한 다양체에서 강력한 KT 메트릭이 존재할 경우, 이 메트릭이 전체 다양체로 어떻게 확장될 수 있는지 조사한다.
• 강력한 KT 다양체를 복소부분다양체에 대해 블로우업하면 여전히 강력한 KT 조건을 유지하는지 확인한다.
• 강력한 KT 메트릭을 갖는 복소오비폴드에 대해 강력한 KT 해소의 존재를 확립한다.
• 특정 유한군 작용에 의한 닐다양체 위의 특이점 해소를 통해 컴팩트하고 단순연결된 강력한 KT 다양체를 구축한다.

제안 방법

• 강력한 KT 메트릭를 조건 ∂∂̄F = 0를 통해 특성화하는, 비대칭 토르션을 갖는 표준 허미트 연결 이론을 사용한다.
• [1]에서 얻은 양의 코어와 복소볼록성 커런트 결과를 활용하여, 고립된 특이점에서 강력한 KT 메트릭을 확장한다.
• Hironaka의 해소 정리를 적용하여, 강력한 KT 메트릭을 갖는 복소오비폴드를 유한 개의 블로우업으로 해소하는 유한한 수열을 구성한다.
• 블로우업과 군 작용 하에서 기본 2형식 F의 거동을 분석하여, 닐다양체 위의 유한군 작용에 대해 불변성을 보인다.
• 닐다양체와 그 몫에 대한 조화형식 계산을 통해 베텨리 수를 계산하고 해소의 위상적 단순성을 확인한다.
• Nomizu의 정리를 적용하여 닐다양체와 그 몫의 베텔리 수를 계산하고, 해소 이전과 이후의 베텔리 수를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 이상의 컴팩트 복소다양체에서 복소구조의 미소 변형에 대해 강력한 KT 조건이 유지되는가?
• RQ2 한 점을 제외한 복소다양체가 강력한 KT 메트릭을 갖는다면, 이 메트릭이 전체 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ3 강력한 KT 다양체를 복소부분다양체에 대해 블로우업하면 여전히 강력한 KT 다양체인가?
• RQ4 강력한 KT 메트릭을 갖는 복소오비폴드는 유한 개의 블로우업 수열을 통해 컴팩트한 강력한 KT 다양체로 해소될 수 있는가?
• RQ5 유한군 작용에 의한 닐다양체 위의 강력한 KT 오비폴드의 해소 과정을 통해 컴팩트하고 단순연결된 강력한 KT 다양체를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 3차원 이상의 복소다양체에서 복소구조의 미소 변형에 대해 강력한 KT 조건은 안정적이지 않으며, Iwasawa 다양체에서 이를 입증하였다.
• 강력한 KT 메트릭에 대한 Miyaoka 유형의 확장 정리가 성립한다: M\{p}가 강력한 KT 메트릭을 갖는다면, M 역시 강력한 KT 메트릭을 갖는다.
• 강력한 KT 다양체를 컴팩트한 복소부분다양체에 대해 블로우업하면 여전히 강력한 KT 다양체이다.
• 모든 복소오비폴드가 강력한 KT 메트릭을 갖는다면, 유한 개의 블로우업 수열을 통해 강력한 KT 해소를 갖는다.
• 유한군 작용에 의한 닐다양체 위의 강력한 KT 오비폴드의 해소 과정은 컴팩트하고 단순연결된 강력한 KT 다양체를 생성하며, 베텔리 수가 감소한다: 첫 번째 예에서는 b₁이 7에서 1로 감소하고, 두 번째 예에서는 6에서 1로 감소한다.