[논문 리뷰] Blow ups of $\mathbb{P^n}$ as quiver moduli for exceptional collections

Xuqiang Qin|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 세 개의 선형(bundle)의 강한 예외적 컬렉션을 사용하여, $ℚ^n$의 선형 부분공간에 대한 블로우업(blown-up)이 세 정점과 관계가 없는 쿼버(quiver)의 반복 표현의 반순수 스킴(semistable representations)의 모듈리 공간과 동형임을 보여준다. 이 구성은 특정 안정성 조건에서 블로우업을 쿼버 모듈리 공간으로 실현하며, 안정성 조건을 변화시킴으로써 블로우다운(map)이 모듈리 공간 사이의 사상으로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

Suppose $P^n_m$ is the blow up of $\mathbb{P}^n$ at a linear subspace of dimension $m$, $\mathcal{L}=\{L_1,\ldots,L_r\}$ is a (not necessarily full) strong exceptional collection of line bundles on $P^n_m$. Let $Q$ be the quiver associated to this collection. One might wonder when is $P^n_m$ the moduli space of representations of $Q$ with dimension vector $(1,\ldots,1)$ for a suitably chosen stability condition $θ$: $S\cong M_θ$. In this paper, we achieve such isomorphism using $\mathcal{L}$ of length $3$. As a result, $P^n_m$ is the moduli space of representations of a very simple quiver. Moreover, we realize the blow up as morphism of moduli spaces for the same quiver.

연구 동기 및 목표

• 선형 부분공간의 치수 $m$에 대해 $\mathbb{P}^n$의 블로우업이 차원 벡터 $(1,1,1)$를 가진 쿼버의 표현 모듈리 공간으로 실현될 수 있는지 결정하는 것.
• 모듈리 공간이 $\mathbb{P}^n_m$과 동형이 되는 명시적인 쿼버와 안정성 조건을 구성하는 것.
• 안정성 조건을 변화시킴으로써 자연스러운 압축 사상 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$을 쿼버 모듈리 공간 사이의 사상으로 실현하는 것.
• 블로우업에서의 비완전 예외적 컬렉션에 대한 쿼버 모듈리 이론의 프레임워크를 확장하여 비가환 기하학적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{P}^n_m$ 위에 세 개의 선형(bundle)의 강한 예외적 컬렉션을 구성: $\mathcal{O}$, $\mathcal{O}(H-E)$, $\mathcal{O}(H)$, 여기서 $H$는 초평면 클래스의 pullback이고 $E$는 예외적 배럴이다.
• 이 컬렉션에 대해 세 정점과 그 사이의 Ext 그룹에 해당하는 화살표를 가진 쿼버 $Q$를 정의하며, 결과적으로 관계가 없는 쿼버가 된다.
• 모듈리 공간 $M_\theta$가 미세 모듈리 공간이 되도록 보장하기 위해 $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$, $p < q$ 조건을 만족하는 안정성 조건 $\theta = (-p, p-q, q)$를 정의한다.
• 블로우업의 보편 성질과 예외적 컬렉션의 구조를 이용하여, 타우토로지컬 유리 사상 $T: \mathbb{P}^n_m \dashrightarrow M_\theta$가 동형임을 증명한다.
• 두 번째 안정성 조건 $\theta' = (-p, 0, p)$를 구성하여 $\mathbb{P}^n$이 모듈리 공간 $M_{\theta'}$과 동형임을 보이고, 표현에 대한 항등사상이 $M_\theta \to M_{\theta'}$로 내림내림됨을 보인다.
• 모듈리 공간의 사영 좌표를 비교함으로써 $\pi'$가 자연스러운 블로우다운 사상 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$과 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $m$의 선형 부분공간에 대해 $\mathbb{P}^n$의 블로우업 $\mathbb{P}^n_m$은 차원 벡터 $(1,1,1)$를 가진 쿼버의 표현 모듈리 공간으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 어떤 안정성 조건 $\theta$에 대해 관련 쿼버의 반순수 표현 모듈리 공간 $M_\theta$가 $\mathbb{P}^n_m$과 동형이 되는가?
• RQ3 안정성 조건을 변화시킴으로써 블로우다운 사상 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$을 쿼버 모듈리 공간 사이의 사상으로 실현할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{P}^n_m$ 위의 예외적 컬렉션 $\{\mathcal{O}, \mathcal{O}(H-E), \mathcal{O}(H)\}$의 구조는 이러한 모듈리 공간 동형의 구성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• $\theta = (-p, p-q, q)$ 조건을 만족하는 안정성 조건에서, 차원 벡터 $(1,1,1)$를 가진 쿼버 $Q$의 반순수 표현 모듈리 공간 $M_\theta$는 $\mathbb{P}^n_m$과 동형이다. 여기서 $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$ 이고 $p < q$ 이다.
• 타우토로지컬 유리 사상 $T: \mathbb{P}^n_m \dashrightarrow M_\theta$는 블로우업의 보편 성질과 예외적 컬렉션의 구조를 통해 동형임이 입증된다.
• $\theta' = (-p, 0, p)$ 조건에서 모듈리 공간 $M_{\theta'}$은 $\mathbb{P}^n$과 동형이며, 좌표는 $x_1, \ldots, x_m, (x_{m+1}e), \ldots, (x_n e)$로 주어진다.
• 표현에 대한 항등사상은 $M_\theta \to M_{\theta'}$로 내림내림되며, 이 사상은 자연스러운 블로우다운 사상 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$과 동형이다.
• 엄격히 반순수 표현들은 $M_{\theta'}$에서 예외적 구역 $C \cong \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^{n-m-1}$에 대응하며, 그 궤도 폐쇄는 한 점으로 붕괴되어 압축을 설명한다.
• 쿼버 $Q$는 관계가 없고, 최소한의 구조를 가지므로, 이 모듈리 구성은 블로우업을 쿼버 모듈리 공간으로 실현하는 데 특히 단순하고 효과적이다.