[논문 리뷰] Blowing-up points on l.c. K. manifolds

Victor Vuletescu|ArXiv.org|2009. 06. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학 기법, 예를 들어 헬름하트 선다발의 곡률 형식과 단위 분할 논증을 사용하여 국소적으로 동형 켈러(manifold) 구조를 유지하는 점에 대한 블로우업이 국소적으로 동형 켈러(l.c.K.) 구조를 유지함을 새롭고 엄밀한 증명을 제공한다. 주요 결과는 블로우업 다각체가 l.c.K. 메트릭을 가짐을 확인하여 트리체리 및 다른 이들의 이전 증명에서의 격차를 메운다.

ABSTRACT

It is a classical result, due to F. Tricceri, that the blow-up of a manifold of locally conformally Kähler (l.c.K. for short) type at some point is again of l.c.K. type. However, the proof given in \cite{Tric} is somehow unclear. We give a different argument to prove the result, using "standard tricks" in algebraic geometry

연구 동기 및 목표

• 점 블로우업에 대한 l.c.K. 구조의 안정성을 보완하고 투명한 증명을 제공함으로써 트리체리의 원래 논증에서의 격차를 수정하는 것.
• 임의의 점에서 컴act 또는 비콤팩트 l.c.K. 다각체의 블로우업이 여전히 l.c.K. 유형임을 입증하는 것.
• 표준 대수기하학 도구—예를 들어 헬름하트 선다발, 곡률 형식, 단위 분할—을 사용하여 블로우업 다각체 위에 잘 정의된 l.c.K. 메트릭을 구성하는 것.
• 기존 메트릭의 Lee 형식이 매끄러운 컷오프 함수를 통해 예외적 다각체 주변에서 0이 되도록 수정될 수 있음을 보여주어 새로운 l.c.K. 메트릭을 구성할 수 있음을 입증하는 것.

제안 방법

• 표준 기하 절차를 사용하여 블로우업 다각체 $\widehat{X}$ 를 구성: 관계식 $x_i y_j = x_j y_i$ 를 사용해 $\widehat{U} \subset U \times \mathbb{P}^{n-1}$ 와 접합한다.
• 국소 메트릭을 $U_{2\varepsilon}$ 내부와 외부에서 조합하기 위해 단위 분할 $\varrho_1, \varrho_2$ 를 사용하여 헬름하트 메트릭 $h$ 를 선다발 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 에 정의한다.
• 선다발 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 의 표준 연결의 곡률 $\Omega_E$ 를 계산하여, $E$ 에서는 음의 정부호이고, 이웃 영역 $U$ 밖에서는 0임을 보인다.
• 원래 l.c.K. 메트릭의 켈러 형식 $\omega$ 를 블로우업 사상 $c: \widehat{X} \to X$ 를 통해 당겨 $c^*(\omega)$ 를 얻고, 매끄러운 함수 $f$ 를 사용해 수정하여 $\omega' = e^f c^*(\omega)$ 를 정의한다. 이때 $d\omega' = \theta' \wedge \omega'$ 이고 $\theta' \equiv 0$ 이다. $E$ 근처에서 성립한다.
• 충분히 큰 $N$ 에 대해 $(1,1)$-형식 $h = N\omega' - \Omega_E$ 를 구성하고, $\omega'$ 와 $\Omega_E$ 가 상보적인 영역에서 0이 되므로 $h$ 가 $\widehat{X}$ 전역에서 정부호임을 증명한다.
• 단지 $\theta' \wedge \Omega_E = 0$ 이 되는 이유는 지지 집합이 서로 겹치지 않기 때문에, $dh = \theta' \wedge h$ 를 만족함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 동형 켈러 다각체의 점에 대한 블로우업은 l.c.K. 구조를 유지하는가?
• RQ2 표준 대수기하학 도구를 사용하여 블로우업 다각체 위에 새로운 l.c.K. 메트릭을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 원래 메트릭의 Lee 형식은 매끄러운 컷오프 함수를 통해 예외적 다각체 주변에서 0이 되도록 확장하거나 수정할 수 있는가?
• RQ4 예외적 다각체 위의 타우토로지컬 선다발의 곡률을 사용하여 l.c.K. 조건을 안정화하는 정부호 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ5 l.c.K. 클래스의 블로우업에 대한 안정성은 컴팩트성 가정 하에나 비콤팩트 다각체에 대해서도 강건한가?

주요 결과

• 임의의 점에서 국소적으로 동형 켈러 다각체의 블로우업은 국소적으로 동형 켈러 메트릭을 갖는다. 이는 l.c.K. 클래스가 점 블로우업에 대해 안정적임을 확인한다.
• 블로우업에 대한 새로운 l.c.K. 메트릭은 $h = N\omega' - \Omega_E$ 로 구성되며, 여기서 $\omega'$ 는 원래 켈러 형식의 동형 수정된 당겨진 형식이고, $\Omega_E$ 는 예외적 다각체 선다발의 곡률이다.
• 곡률 형식 $\Omega_E$ 는 $E$ 에서 음의 정부호이고, $U$ 와 같은 컴팩트 이웃 영역 외부에서는 0이므로 충분히 큰 $N$ 에 대해 $h$ 는 전역적으로 정부호가 된다.
• 새로운 메트릭 $h$ 의 Lee 형식 $\theta'$ 는 $E$ 근처에서 0이 되며, 이는 l.c.K. 조건을 단순화하고 $dh = \theta' \wedge h$ 가 전역적으로 성립함을 보장한다.
• 단위 분할과 매끄러운 컷오프 함수를 사용하여 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 위의 국소 메트릭을 접합함으로써 곡률 형식이 잘 정의되고 준정부호가 되도록 보장한다.
• 증명은 블로우업 다각체 $\widehat{X}$ 가 $dh = \theta' \wedge h$ 를 만족하는 헬름하트 메트릭 $h$ 를 명시적으로 제시함으로써 $\theta'$ 가 닫혀 있고 $h$ 가 정부호임을 보여, $\widehat{X}$ 가 l.c.K. 유형임을 확립한다.