[논문 리뷰] Blowup of Smooth Solutions to the Navier-Stokes Equations for Compressible Isothermal Fluids

Dapeng Du, Jingyu Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 08.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초기 밀도가 컴act support를 가지며 비자명할 경우, 1차원 및 2차원 등온 압축성 슈비치에르-나비에-스토크스 방정식의 매끄러운 해가 유한 시간 내에 폭발함을 증명한다. 가중 에너지 적분법과 에너지 보존을 사용하여, 운동량 적분이 시간에 따라 선형적으로 증가하는 반면 초기 자료 항은 유계로 유지됨을 보이고, 이는 해가 폭발하지 않는 한 모순이므로, 1차원 및 2차원에서 구형 대칭 초깃값에 대해 유한 시간 내 폭발이 발생함을 입증한다.

ABSTRACT

It is shown that the one-dimensional or two-dimensional radially symmetric isothermal compressible Navier-Stokes system has no non-trivial global smooth solutions if the initial density is compactly supported. This result is a generalization of Xin's work \cite{Xin98} to the isothermal case.

연구 동기 및 목표

• 압축성 등온 나비에-스토크스 방정식의 매끄러운 해가 컴 pact support를 가지는 초기 밀도 조건 하에서 유한 시간 내 폭발이 존재함을 입증하는 것.
• 비바로트로픽에서 등온 유체로 신의 폭발 결과를 1차원 및 2차원 공간 차원으로 확장하는 것.
• 초깃값이 구형 대칭이면서 컴 pact support를 가지는 경우, 전역적인 매끄러운 해가 존재할 수 없음을 보여주는 것.
• 등온 경우에 대해 가중 운동량 적분과 에너지 보존을 기반으로 한 단순화된 증명 기법을 제공하는 것.

제안 방법

• 공간 가중치 $ x $를 사용하여 운동량 방정식을 적분함으로써 밀도와 속도를 포함하는 적분 항등식을 유도하는 함수 방법의 사용.
• 입자 경로 분석과 연속 방정식에 기반하여 밀도가 항상 컴 pact support를 유지함을 증명하는 것.
• 연속 방정식과 운동량 방정식에 각각 $ \ln(\rho + \epsilon) $ 과 $ u $를 곱하고 $ \epsilon \to 0 $의 극한을 취함으로써 시스템의 에너지 보존을 도출하는 것.
• 에너지 추정을 통해 $ \nabla u $의 $ L^2 $ 유계를 확보함으로써 시간에 대한 적분 가능성을 보장하는 것.
• 뉴턴-라이프니츠 부등식을 적용하여 1차원 및 2차원에서 $ u \cdot x $의 $ L^\infty $ 노름을 $ \| \nabla u \|_{L^2} $로 유계화하는 것.
• 모순 증명: 운동량 적분 항등식의 좌변은 유계이지만 우변은 시간에 따라 선형적으로 증가하므로, 해가 폭발해야 한다는 결론을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 컴 pact support를 가지며 비자명할 경우, 등온 압축성 나비에-스토크스 방정식의 매끄러운 해가 전역적으로 존재할 수 있는가?
• RQ2 비바로트로픽 및 등온성 흐름에서 관찰된 폭발 메커니즘이 1차원 및 2차원에서 등온 경우로 확장되는가?
• RQ3 압축성 나비에-스토크스 흐름에서 컴 pact support를 가지는 초기 자료에 대해 유한 시간 특이성이 형성되는 데에 구형 대칭이 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 등온, 등온성, 비바로트로픽 경우에 모두 적용 가능한 통합된 방법으로 폭발 결과를 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 1차원 및 2차원 등온 압축성 나비에-스토크스 방정식의 매끄러운 해는 컴 pact support를 가지는 초기 밀도 조건 하에서 전역적으로 존재할 수 없다.
• 운동량 적분 $ \int \rho u \cdot x \, dx $ 는 압력 항 $ a \int \rho \, dx = a m_0 $ 로 인해 시간에 따라 선형적으로 증가하며, 이는 항등식에 $ a m_0 t $ 를 기여한다.
• 초기 운동량 항 $ \int \rho_0 u_0 \cdot x \, dx $ 는 유계로 유지되며, $ u \cdot x $의 $ L^\infty $ 노름은 $ \nabla u $의 $ L^2 $ 노름에 의해 제어되며, 이는 시간에 대해 일관되게 유계이다.
• 에너지 보존과 $ \nabla u $의 $ L^2 $ 유계는 운동량 적분 항등식의 좌변이 유계로 유지됨을 보장하지만, 우변은 시간에 따라 선형적으로 증가한다.
• 유계인 좌변과 선형적으로 증가하는 우변 사이의 모순은 해가 유한 시간 내에 폭발해야 한다는 것을 의미한다.
• 폭발 결과는 $ \mu > 0 $, $ \lambda + \frac{2}{n}\mu > 0 $ 및 2차원에서 구형 대칭, 1차원에서는 어떠한 대칭성도 가지는 비자명하고 컴 pact support를 가지는 초기 밀도 조건 하에서 성립한다.