[논문 리뷰] Blowup solutions for a nonlinear heat equation involving a critical power nonlinear gradient term

Tej‐Eddine Ghoul, Van Tien Nguyen외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 41인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비선형 열방정식 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$ 에서 임계 제곱형 기울기 항 ($\alpha |\nabla U|^2$) 과 지수 반응 ($e^U$) 을 갖는 유한시간 폭발 해를 구축하며, 해와 그 기울기가 원점에서 동시에 폭발함을 증명한다. 해의 최종 폭발 프로파일은 $\alpha=0$ 인 경우와 다름을 보이며, 기울기 항의 임계성으로 인해 달라진다. 유한차원 축소와 지수 이론을 통해 초기 자료의 변화에 대한 해의 안정성이 확립된다.

ABSTRACT

We consider the following exponential reaction-diffusion equation involving a nonlinear gradient term: $$\\partial_t U = \\Delta U + \\alpha|\ abla U|^2 + e^U,\\quad (x, t)\\in\\mathbb{R}^N\ imes[0,T), \\quad \\alpha > -1.$$ We construct for this equation a solution which blows up in finite time $T > 0$ and satisfies some prescribed asymptotic behavior. We also show that the constructed solution and its gradient blow up in finite time $T$ simultaneously at the origin, and find precisely a description of its final blowup profile. It happens that the quadratic gradient term is critical in some senses, resulting in the change of the final blowup profile in comparison with the case $\\alpha = 0$. The proof of the construction inspired by the method of Merle and Zaag in 1997, relies on the reduction of the problem to a finite dimensional one, and uses the index theory to conclude. One of the major difficulties arising in the proof is that outside the \ extit{blowup region}, the spectrum of the linearized operator around the profile can never be made negative. Truly new ideas are needed to achieve the control of the outer part of the solution. Thanks to a geometrical interpretation of the parameters of the finite dimensional problem in terms of the blowup time and the blowup point, we obtain the stability of the constructed solution with respect to perturbations of the initial data.

연구 동기 및 목표

• 비선형 열방정식 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$ 에 대해 $\alpha > -1$ 인 경우 유한시간 내에 폭발하는 해를 구축한다.
• 해와 그 기울기가 원점에서 정확히 기술된 최종 폭발 프로파일을 규명한다.
• 제곱형 기울기 항이 임계임을 보이며, 이로 인해 $\alpha = 0$ 인 경우와 폭발 프로파일이 달라진다.
• 초기 자료의 소규모 변화에 대해 구축된 폭발 해의 안정성을 확립한다.
• 선형화된 연산자의 스펙트럼이 음수가 되지 않는 외부 영역을 제어하는 데 도전적이며, 이를 극복하기 위해 새로운 분석 기법이 필요하다.

제안 방법

• 폭발 문제를 대칭 변수 변환을 통해 스케일링된 방정식의 장기적 점근적 분석으로 변환한다.
• 메를레와 자그(1997)의 영감을 받은 유한차원 축소 방법을 사용하여 무한차원 PDE 를 유한차원 동역계로 축소한다.
• 해의 폭발 시점과 위치 근처에서의 행동을 제어하기 위해 지수 이론을 적용한다.
• 폭발 시간과 폭발 위치에 대한 유한차원 매개변수의 기하학적 해석을 도입하여 안정성을 증명한다.
• 가중치 에너지 추정과 특이 커널을 갖는 그론월라 형식의 부등식을 사용하여 다양한 공간 영역에서 해를 제어한다.
• 레마 B.1 과 그론월라 부등식의 변형(레마 B.3) 을 조합하고 적분 추정(레마 B.2) 을 적용하여 외부 영역에서 해와 그 기울기를 유 bounds 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 제곱형 기울기 항 $\alpha |\nabla U|^2$ 가 방정식 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$ 의 폭발 프로파일에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 모든 $\alpha > -1$ 과 임계인 $r=2$ 인 경우, 해와 그 기울기의 정확한 최종 폭발 프로파일은 무엇인가?
• RQ3 왜 폭발 프로파일이 $\alpha = 0$ 인 경우와 다를까? 임계 지수 $r=2$ 는 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 구축된 폭발 해가 초기 자료의 소규모 변화에 대해 안정함을 입증할 수 있는가?
• RQ5 선형화된 연산자의 스펙트럼이 음수가 되지 않는 외부 영역을 제어하기 위해 어떤 새로운 분석 기법이 필요한가?

주요 결과

• 해와 그 기울기가 유한한 시간 $T>0$ 내에 원점에서 동시에 폭발하며, 정확히 기술된 최종 폭발 프로파일을 갖는다.
• 기울기 항의 임계성으로 인해 $\alpha = 0$ 인 경우와 프로파일이 다름을 보이며, 이는 점근적 구조를 변화시킨다.
• 유한차원 매개변수의 기하학적 해석을 통해 초기 자료의 소규모 변화에 대해 구축된 해가 안정하다는 것이 입증된다.
• 외부 영역의 제어는 가중치 $L^\infty$ 노름과 특이 커널을 갖는 적분 부등식을 사용한 새로운 추정을 통해 달성된다.
• 작은 $\epsilon$ 에 대해 내부 영역 $|\xi| < 1/8$ 에서는 $\tau \in [0,1)$ 에 대해 일관되게 $e^{u(\xi,\tau)} \leq C\epsilon (1-\tau)^{-\epsilon}$ 과 $|\nabla u(\xi,\tau)| \leq C\epsilon$ 를 만족한다.
• 폭발 속도는 $\lim_{t \to T} \left[ U(a + z\sqrt{(T-t)|\ln(T-t)|}, t) + \ln(T-t) \right] = \Phi_0(z) = -\ln\left(1 + \frac{|z|^2}{4}\right)$ 를 만족하며, 중간 척도 프로파일을 확인한다.